Giải:

Ta có:

\(6x+5y+18=2xy\Leftrightarrow2xy-6x=5x-18\)

\(\Leftrightarrow2x\left(y-3\right)=5y+18\left(1\right).\) 

Nếu \(y=3\Leftrightarrow\left(1\right)\) trở thành \(0=33\) (Vô lý)

Ta lại biến đổi \(\left(1\right)\Leftrightarrow2x=\frac{2y+18}{y-3}=\frac{5\left(y-3\right)+33}{y-3}=5+\frac{33}{y-3}\)

Do \(x\in Z^+\) nên \(2x\in Z\Rightarrow\left(y-3\right)\inƯ\left(33\right)\)

Xét các trường hợp ta tìm được:

\(\left(x;y\right)=\left(19;4\right),\left(8;6\right),\left(4;14\right),\left(3;36\right)\)

nghiệm nguyên dương nhé,mình đánh thiếu

Phân tích thành nhân tử được (y−3)(2x−5)=33(y−3)(2x−5)=33

Xét các trường hợp ra rồi chọn các cặp nghiệm (x; y) = (3; 36); (4; 14); (8; 6); (19; 4).

Ta có : \(6x+5y+18=2xy\)

\(\Leftrightarrow2xy-6x-5y=18\)

\(\Leftrightarrow2xy-6x+15-5y=33\)

\(\Leftrightarrow2x\left(y-3\right)-5\left(y-3\right)=33\)

\(\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(2x-5\right)=33=1.33=3.11=-1.\left(-33\right)=-33.\left(-1\right)=-3.\left(-11\right)=-11.\left(-3\right)\)

Xét các trường hợp sau:

\(\hept{\begin{cases}y-3=1\\2x-5=33\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=4\\x=19\end{cases}}}\);    \(\hept{\begin{cases}y-3=11\\2x-5=3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}y=14\\x=4\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}y-3=33\\2x-5=1\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}y=36\\x=3\end{cases}}\)   ; \(\hept{\begin{cases}y-3=3\\2x-5=11\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}y=6\\x=8\end{cases}}\)

Bạn tự xét các trường hợp còn lại

Vậy............................

Ta có: \(6x+5y+18=2xy\)

\(2xy-6x-5y=18\)

\(2xy-6x-5y+15=18+15\)

\(2x\left(y-3\right)-5\left(y-3\right)=33\)

\(\left(2x-5\right)\left(y-3\right)=33=33.1=-1.\left(-33\right)=11.3=-11.\left(-3\right)\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(19;4\right);\left(3;36\right);\left(-14;2\right);\left(2;-30\right);\left(8;6\right);\left(4;14\right);\left(-3;0\right);\left(1;-8\right)\right\}\)

\(6x^2+\left(2y-1\right)x+10y^2-28y+18=0\)

\(\Delta=\left(2y-1\right)^2-24\left(10y^2-28y+18\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-236y^2+668y-431\ge0\)

\(\Rightarrow\dfrac{167-2\sqrt{615}}{118}\le y\le\dfrac{167+2\sqrt{615}}{118}\)

\(\Rightarrow y=1\)

Thế vào pt đầu ...

\(6x+5y+18=2xy\\ \Leftrightarrow2xy-6x+15-5y=33\\ \Leftrightarrow2x\left(y-3\right)-5\left(y-3\right)=33\\ \Leftrightarrow\left(2x-5\right)\left(y-3\right)=33\)

Ta có:

Vậy \(\left(x;y\right)=\left\{\left(19;4\right);\left(-14;2\right);\left(3;36\right);\left(2;-30\right);\left(4;14\right);\left(1;-8\right);\left(8;6\right);\left(-3;0\right)\right\}\)

\(\Leftrightarrow2xy-6x-5y=18\)

\(\Leftrightarrow2x\left(y-3\right)-5\left(y-3\right)=33\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)\left(y-3\right)=33\)

Phương trình ước số cơ bản

Ta có: \(6x+5y+18=2xy\)

\(\Leftrightarrow6x+5y-2xy=-18\)

\(\Leftrightarrow2x\left(3-y\right)+5y=-18\)

\(\Leftrightarrow2x\left(3-y\right)+5y-15=-18-15\)

\(\Leftrightarrow2x\left(3-y\right)+5\left(y-3\right)=-33\)

\(\Leftrightarrow2x\left(3-y\right)-5\left(3-y\right)=-33\)

\(\Leftrightarrow\left(3-y\right)\left(2x-5\right)=-33\)

Dễ rồi

\(9x+5y+18=2xy\)

\(9x+5y+18-2xy=0\)

\(x\left(9-2y\right)=-18-5y\)

mà \(x,y\in Z\)

\(\Rightarrow x=\frac{-18-5y}{9-2y}\)

đến đây tìm để \(x,y\in Z\) là được 

\(9x+5y+18=2xy\)

\(\Leftrightarrow18x+10y-4xy=-36\)

\(\Leftrightarrow\left(18x-4xy\right)+10y=-36\)

\(\Leftrightarrow2x\left(9-2y\right)-\left(45-10y\right)=-81\)

\(\Leftrightarrow2x\left(9-2y\right)-5\left(9-2y\right)=-81\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-5\right)\left(9-2y\right)=-81\)