Từ đk trên ta có:  \(2y^2+2zy+2z^2=2-3x^2\)

<=> \(3x^2+2y^2+2zy+2z^2=2\left(1\right)\)

<=>\(\left(x+y+z\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(x-z\right)^2=2\)

Do (x-y)²≥0; (x-z)²≥0 nên từ(*) suy ra (x+y+z)²≤2

Hay \(-\sqrt{2}\le x+y+z\le\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi x-y =0 và x-z=0 hay x=y=z

Thay vào (1) ta được 9x²=2 ; x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)

Với x=y=z =x=\(\dfrac{\sqrt{2}}{3};\dfrac{-\sqrt{2}}{3}\)thì max=\(\sqrt{2}\), min =\(-\sqrt{2}\)

Đáp án C

Đặt t = y x > 1 ⇒ y = t x ⇒ P = log x t x 2 - 1 2 + 8 log t t x x 2  

= log x t 2 + 1 2 + 8 log t t x - log t x 2 = 2 log x t 2 + 1 2 + 8 1 + log t x - 1 2 log t x 2  

Đặt u = log t x ⇒ P = 2 u + 1 2 + 8 1 + 1 2 u 2 = 4 u 2 + 4 u + 2 u 2 + 8 u + 9 = P u  

Do u = log x y x = log x y - 1 > 0  nên xét P u u > 0 ⇒ P ' u = 8 u + 4 - 4 u 3 - 8 u 2  

= 4 2 u + 1 u 3 - 1 u 3 = 0 → u > 0 u = 1 . Do đó ta tìm được P m i n = P 1 = 27 .

\(P=\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+2x^2y^2\)

\(=2x^2y^2-3xy+1=2t^2-3t+\frac{5}{8}+\frac{3}{8}\) (đặt t = xy \(\Rightarrow t\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\))

\(=\frac{1}{8}\left(4t-1\right)\left(4t-5\right)+\frac{3}{8}\ge\frac{3}{8}\)

Do đó \(P\ge\frac{3}{8}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\t=\frac{1}{4}\\x=y\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

True?

Em không hiểu ctv giải dòng suy ra T ạ

๖ۣۜBFK_Quân Nguyễn~ đó là BĐT phụ nhé bạn:

\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\Leftrightarrow4xy\le\left(x+y\right)^2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) ( đúng )

Đó,mình chứng minh đó nhé !

a

Dễ thấy theo AM - GM ta có:

\(M=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\left(\frac{y}{x}+\frac{x}{4y}\right)+\frac{3x}{4y}\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{4y}}+\frac{3\cdot2y}{4y}=\frac{5}{2}\)

Đẳng thức xảy ra tại \(x=2y\)

b

\(x^2+3+\frac{1}{x^2+3}=\left[\frac{\left(x^2+3\right)}{9}+\frac{1}{x^2+3}\right]+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{x^2+3}{9}\cdot\frac{1}{x^2+3}}+\frac{8\left(x^2+3\right)}{9}=\frac{2}{3}+\frac{8\cdot3}{9}=\frac{10}{3}\)

Đẳng thức xảy ra tại x=0

Em xin phép nhờ  quý thầy cô và các bạn giúp đỡ với ạ!

Ta có \(xy\le\dfrac{\left(x+y\right)^2}{4}\).

Do đó ta có: \(x+y+xy=x+y-2xy+3xy\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2\le x+y-2xy+\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)-1\right]\le0\)

\(\Leftrightarrow0\le x+y\le4\).

Do đó m = 0, n = 4.

Vậy m² + n² = 16. Chọn A.

\(C=x^2+y^2+xy\)

\(=\left(x^2+y^2+2xy\right)-xy\)

\(=\left(x+y\right)^2-x\left(1-x\right)\)

\(=1-x+x^2\)

\(=x^2-2\cdot\frac{1}{2}\cdot x+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}\)

\(=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\forall x\)

Dấu "=" xảy ra \(x=y=\frac{1}{2}\)

Vậy \(C_{min}=\frac{3}{4}\) tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

C=(x+y)^2-xy=1-xy

Mà xy<=(x+y)^2/4=1/a suy ra C>=1-1/4=3/4

Dấu = xảy ra khi x=y=1/2

1/2 nha bn kb với mk nha

\(x^3+y^3+3xy\le1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-1-3xy\left(x+y\right)+3xy\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)\le0\)

Do \(x^2+y^2-xy+x+y+1=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+x+y+1>0\)

\(\Rightarrow x+y-1\le0\Rightarrow x+y\le1\)

\(\Rightarrow P=\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{4y}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{y}{4y}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{x+y}\ge2+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{1}=5\)

\(P_{min}=5\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)