Question

 Cho hai số thực dương  \(x;y\)  thỏa mãn  \(x^3+y^3+3.x.y\le1\).  Tìm  giá trị nhỏ nhất của biểu thức  sau 
\(P=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)
  P/s: Em  xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn vui lòng  giúp đỡ em tham khảo  với ạ !
Em cám ơn rất nhiều ạ!

Answer 1

\(x^3+y^3+3xy\le1\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-1-3xy\left(x+y\right)+3xy\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left[\left(x+y\right)^2+x+y+1\right]-3xy\left(x+y-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(x^2+y^2-xy+x+y+1\right)\le0\)

Do \(x^2+y^2-xy+x+y+1=\left(x-\dfrac{y}{2}\right)^2+\dfrac{3y^2}{4}+x+y+1>0\)

\(\Rightarrow x+y-1\le0\Rightarrow x+y\le1\)

\(\Rightarrow P=\left(x+\dfrac{1}{4x}\right)+\left(y+\dfrac{1}{4y}\right)+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge2\sqrt{\dfrac{x}{4x}}+2\sqrt{\dfrac{y}{4y}}+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{x+y}\ge2+\dfrac{3}{4}.\dfrac{4}{1}=5\)

\(P_{min}=5\) khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)