Question

Cho bốn số thực dương  a; b ; c và d.  Chứng minh rằng :

\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\)
 

P/s:  Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn giúp đỡ, em cám ơn nhiều ạ!

Answer 1

Đặt \(P=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{a+d}+\dfrac{d}{a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+bd}+\dfrac{c^2}{ac+cd}+\dfrac{d^2}{ad+bd}\)

\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c+d\right)^2}{ab+2ac+bc+2bd+cd+ad}=\dfrac{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2+2\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}\)

\(P\ge\dfrac{4ac+4bd+2ab+2bc+2cd+2ad}{2ac+2bd+ab+bc+cd+ad}=2\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)