a) Ta có:

\(\begin{array}{l}MN = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC} \right)\\PQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\BC = \left( {ABC} \right) \cap \left( {BC{\rm{D}}} \right)\\MN\parallel BC\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MN\parallel PQ\parallel BC\) (1).

\(\begin{array}{l}MQ = \left( \alpha  \right) \cap \left( {ABD} \right)\\NP = \left( \alpha  \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\A{\rm{D}} = \left( {ABD} \right) \cap \left( {AC{\rm{D}}} \right)\\MQ\parallel A{\rm{D}}\end{array}\)

Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: \(MQ\parallel NP\parallel A{\rm{D}}\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(MNPQ\) là hình bình hành.

b) Để \(MNPQ\) là hình thoi thì \(MN = NP\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}MN\parallel BC \Rightarrow \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AN}}{{AC}}\\NP\parallel A{\rm{D}} \Rightarrow \frac{{NP}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}} \Rightarrow \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{CN}}{{AC}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{AN}}{{AC}} + \frac{{CN}}{{AC}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{MN}}{{BC}} + \frac{{MN}}{{A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN.\left( {\frac{1}{{BC}} + \frac{1}{{A{\rm{D}}}}} \right) = 1\\ \Leftrightarrow MN.\frac{{BC + A{\rm{D}}}}{{BC.A{\rm{D}}}} = 1 \Leftrightarrow MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\end{array}\)

Vậy nếu \(MN = \frac{{BC.A{\rm{D}}}}{{BC + A{\rm{D}}}}\) thì \(MNPQ\) là hình thoi.

a) (α) // AC, AC ∈(ABC), M là điểm chung của ( α) và (ABC) => (α) ∩ (ABC) = MN // AC. Các giao tuyến sau tương tự

b) Thiết diện là hình bình hành MNPQ

tại M kẻ đt //BC cắt AB tại I và CD tại K

tại M kẻ đt d // SA,cắt (SBC) tại N, qua N kẻ đt // IK và cắt SB tại E, cắt SC tại F.

Nối E,F,K,I ta đc 1 tứ giác là thiết diện của hình chóp :)

a/ Qua M kẻ đường thẳng song song SD cắt AD tại P \(\Rightarrow\) P là trung điểm AD (t/c đường trung bình)

Qua M kẻ đường thẳng song song SB cắt AB tại Q thì Q là trung điểm AB

\(\Rightarrow\) MPQ là thiết diện của (\(\alpha\)) và chóp

Qua N kẻ đường thẳng song song SD cắt CD tại E \(\Rightarrow\) E là trung điểm CD

Qua N kẻ đường thẳng song song SB cắt BC tại F thì F là trung điểm BC

\(\Rightarrow\) NEF là thiết diện của \(\left(\beta\right)\) và chóp

b/ Gọi giao điểm của PQ và EF với AC lần lượt là I và J

Gọi O là giao điểm AC và BD

Ta có PI và EJ lần lượt là đường trung bình của các tam giác ADO và CDO

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IO=\frac{1}{2}AO\\JO=\frac{1}{2}CO\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow IO+JO=\frac{1}{2}\left(AO+CO\right)\)

\(\Rightarrow IJ=\frac{1}{2}AC\)

Đáp án A

Định chụp hình cơ cơ mà khá khó nhìn nên thoi đánh máy, bạn cố hiểu nhé

Từ H kẻ đường thẳng song song với ME cắt BC ở K

Từ K kẻ đường thẳng song song với EN cắt CD ở I

Nối I với H ta được mp (P) cần tìm

\(\left\{{}\begin{matrix}K\in HK\subset\left(HKI\right);K\in BC\subset\left(BCD\right)\\I\in KI\subset\left(HKI\right);I\in CD\subset\left(BCD\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(HKI\right)\cap\left(BCD\right)=KI\Rightarrow\left(P\right)\cap\left(BCD\right)=KI\)

Ta co \(\left\{{}\begin{matrix}H\in HK\subset\left(HKI\right);H\in AB\subset\left(ABD\right)\\KI//AB\end{matrix}\right.\)

=> Giao tuyen cua (P) va (ABD) la duong thang ua H va song song voi BD

a) + (α) // AC

⇒ Giao tuyến của (α) và (ABC) là đường thẳng song song với AC.

Mà M ∈ (ABC) ∩ (α).

⇒ (ABC) ∩ (α) = MN là đường thẳng qua M, song song với AC (N ∈ BC).

+ Tương tự (α) ∩ (ABD) = MQ là đường thẳng qua M song song với BD (Q ∈ AD).

+ (α) ∩ (BCD) = NP là đường thẳng qua N song song với BD (P ∈ CD).

+ (α) ∩ (ACD) = QP.

b)Ta có:

Suy ra, tứ giác MNPQ có các cạnh đối song song với nhau nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

a) Nhận xét:

Do giả thiết cho IJ không song song với CD và chúng cùng nằm trong mặt phẳng (BCD) nên khi kéo dài chúng gặp nhau tại một điểm.

Gọi K = IJ ∩ CD.

Ta có: M là điểm chung thứ nhất của (ACD) và (IJM);

Vậy (MIJ) ∩ (ACD) = MK

b) Với L = JN ∩ AB ta có:

Như vậy L là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng (MNJ) và (ABC)

Gọi P = JL ∩ AD, Q = PM ∩ AC

Ta có:

Nên Q là điểm chung thứ hai của (MNJ) và (ABC)

Vậy LQ = (ABC) ∩ (MNJ).

a) Gọi giao điểm của AM và BP là I, giao điểm của AN và DP là K.

Ta có IK đều thuộc mặt phẳng (AMN) và (BPD) suy ra IK là giao tuyến của hai mặt phẳng này.

Như vậy, d là đường thẳng đi qua I và K.

b) Ta có: \(mp\left( {AMN} \right) \cap mp\left( {BPD} \right) = IK\).

\(mp\left( {AMN} \right) \cap mp\left( {BCD} \right) = MN\) \(\;\).

\(mp\left( {BPD} \right) \cap mp\left( {BCD} \right) = BD\).

Mà MN // BD (do MN là đường trung bình của tam giác BCD) suy ra IK // BD.

Như vây, d song song với BD.