Trong Ví dụ 3, tính \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2\).
Tính \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 4,\;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {30^o}\)
b) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 6,\;(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {120^o}\)
c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng.
d) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 2,\;\left| {\overrightarrow b } \right| = 3,\;\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng
a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.4.\cos {30^o} = 12.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 6\sqrt 3 \)
b) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 5.6.\cos {120^o} = 30.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = - 15\)
c) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng nên \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {0^o}\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.3.\cos {0^o} = 6.1 = 6\)
d) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược hướng nên \((\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^o}\)
\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.3.\cos {180^o} = 6.( - 1) = - 6\)
Trong không gian Oxyz, cho 3 vectơ \(\overrightarrow{a}=\left(2;-5;3\right);\overrightarrow{b}=\left(0;2;-1\right);\overrightarrow{c}=\left(1;7;2\right)\)
a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{d}=4\overrightarrow{a}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\)
b) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow{e}=\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\)
Tính \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) hả bạn?
\(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=2.\sqrt{3}.cos30^0=3\)
Đặt \(A=\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\Rightarrow A^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.cos\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)\)
\(=2^2+3+2.2.\sqrt{3}.cos30^0=13\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{13}\)
Áp dụng tính chất giao hoán và tính chất phân phối của tích vô hướng hãy chứng minh các kết quả sau đây :
\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\)
\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left|\overrightarrow{b}\right|^2\)
\(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2+2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\).
\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)^2=\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\left|\overrightarrow{b}\right|^2-2\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\).
\(\left(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)=\left|\overrightarrow{a}\right|^2+\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}+\left|\overrightarrow{b}\right|^2\)\(=\left|\overrightarrow{a}\right|^2-\left|\overrightarrow{b}\right|^2\).
Trên mặt phẳng Oxy hãy tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) trong các trường hợp sau :
a) \(\overrightarrow{a}=\left(2;3\right);\overrightarrow{b}=\left(6;4\right)\)
b) \(\overrightarrow{a}=\left(3;2\right);\overrightarrow{b}=\left(5;-1\right)\)
c) \(\overrightarrow{a}=\left(-2;-2\sqrt{3}\right);\overrightarrow{b}=\left(3;\sqrt{3}\right)\)
a) cos(; ) = = 0
=> (; ) = 900
b) cos(; ) = =
=> (; ) = 450
c) cos(; ) = =
=> (; ) = 1500
Đăng những câu khác đi em mỏi tay rồi
Tính tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\) trong không gian với các tọa độ đã cho là :
a) \(\overrightarrow{a}=\left(3;0;-6\right);\overrightarrow{b}=\left(2;-4;c\right)\)
b) \(\overrightarrow{a}=\left(1;-5;2\right);\overrightarrow{b}=\left(4;3;-5\right)\)
c) \(\overrightarrow{a}=\left(0;\sqrt{2};\sqrt{3}\right);\overrightarrow{b}=\left(1;\sqrt{3};-\sqrt{2}\right)\)
a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=6\left(1-c\right)\)
b) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-21\)
c) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\)
Tính \(\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)\) biết \(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\) ⊥ \(\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)\)
Từ giả thiết ta có:
\(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{a}.5\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.4\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{b}.5\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}.4\overrightarrow{b}=0\)
\(\Leftrightarrow5a^2+6\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-8b^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=0^o\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=180^o\)
Làm lại đây nha, nãy buồn ngủ nên làm hơi ngu.
Từ giả thiết ta có:
\(\left(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\right)\left(5\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\\\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\end{matrix}\right.\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=\dfrac{4}{5}\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=0^o\)
Nếu \(\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{b}\Rightarrow\left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)=180^o\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho \(\overrightarrow a = \left( { - 1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {3;1} \right),\overrightarrow c = \left( {2; - 3} \right)\).
a) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b - 3\overrightarrow c \)
b) Tìm tọa độ của vectơ \(\overrightarrow x \) sao cho \(\overrightarrow x + 2\overrightarrow b = \overrightarrow a + \overrightarrow c \)
a) Tọa độ vectơ \(\overrightarrow u = \left( {2.\left( { - 1} \right) + 3 - 3.2;2.2 + 1 - 3.\left( { - 3} \right)} \right) = \left( { - 5;14} \right)\)
b) Do \(\overrightarrow x + 2\overrightarrow b = \overrightarrow a + \overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow x = \overrightarrow a + \overrightarrow c - 2\overrightarrow b = \left( { - 1 + 2 - 2.3;2 + \left( { - 3} \right) - 2.1} \right) = \left( { - 5; - 3} \right)\)
Vậy \(\overrightarrow x = \left( { - 5; - 3} \right)\)
Bài 3. (1 điểm) Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn: $\left| \overrightarrow{a} \right|=1, \, \left| \overrightarrow{b} \right|=2, \, \left| \overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{15}.$
a) Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$.
b) Xác định $k$ để góc giữa $\left( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right)\left( 2k\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right)$ bằng ${{60}^{\circ }}$.
cho tam giác ABC . tìm tập hợp điểm M trong các trường hợp sau :
a, \(\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|\)
b, \(\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\)
\(\text{a) }\left|2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right|=\left|3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right|\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right)^2=\left(3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right)^2\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}\right)^2-\left(3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right)^2=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\left(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MC}\right)\left[2\left(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}\right)+6\overrightarrow{MB}\right]=0\\ \Rightarrow\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}\right)\left(\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{MB}\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=0\\\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{MB}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MC}\\\overrightarrow{CA}=-3\overrightarrow{MB}\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}M;A;C\text{ thẳng hàng };M\text{ nằm giữa }A;C\\MA=MC\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}CA//MB\\CA=3MB\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\text{ là trung điểm }AC\\CA//MB;CA=3MB\end{matrix}\right.\)
Vậy......
\(b\text{) }\left|4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right|\\ \Rightarrow\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^2=\left(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)^2\\ \Rightarrow\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)^2-\left(2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)^2=0\\ \Rightarrow\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)\left(4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left(2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}\right)\cdot6\overrightarrow{MA}=0\\ \Rightarrow\overrightarrow{MA}\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right)=0\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MA}=0\\\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\equiv A\\M\text{ là trọng tâm }\Delta ABC\end{matrix}\right.\)Vậy...........