a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt u= ln(1+x)

dv= xdx

=> ,

Ta có: ∫xln(1+x)dx =

=

b) Cách 1: Tìm nguyên hàm từng phần hai lần:

Đặt u= (x²+2x -1) và dv=e^xdx

Suy ra du = (2x+2)dx, v = e^x

. Khi đó:

∫(x²+2x - 1)e^xdx = (x²+2x - 1)e^xdx - ∫(2x+2)e^xdx

Đặt : u=2x+2; dv=e^xdx

=> du = 2dx ;v=e^x

Khi đó:∫(2x+2)e^xdx = (2x+2)e^x - 2∫e^xdx = e^x(2x+2) – 2e^x+C

Vậy

∫(x²+2x+1)e^xdx = e^x(x²-1) + C

Cách 2: HD: Ta tìm ∫(x²-1)e^xdx. Đặt u = x²-1 và dv=e^xdx.

Đáp số : e^x(x²-1) + C

c) Đáp số:

HD: Đặt u=x ; dv = sin(2x+1)dx

d) Đáp số : (1-x)sinx - cosx +C.

HD: Đặt u = 1 - x ;dv = cosxdx

1. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=\dfrac{dx}{sin^2x}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-cotx\end{matrix}\right.\)

Do đó I= \(-x.cotx+\int cotxdx\)= \(-xcotx+ln\left|sinx\right|\)

2. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+1\\dv=\dfrac{dx}{e^x}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=-e^{-x}\end{matrix}\right.\)

Do đó I= \(-\left(x+1\right)e^{-x}+\int e^{-x}dx\)=\(-\left(x+1\right)e^{-x}-e^{-x}\)

=\(-\left(x+2\right)e^{-x}\)

3. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x\\dv=sinx.cosx.dx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\dv=\dfrac{1}{4}sin2x.d\left(2x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=dx\\v=\dfrac{-cos2x}{8}\end{matrix}\right.\), do đó I= \(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\int\dfrac{cos2x}{8}dx\)

=\(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\int\dfrac{cos2x}{16}d\left(2x\right)\)= \(\dfrac{-x.cos2x}{8}+\dfrac{sin2x}{32}\)

a) \(\int\left(x+\ln x\right)x^2\text{d}x=\int x^3\text{d}x+\int x^2\ln x\text{dx}\)

\(=\dfrac{x^4}{4}+\int x^2\ln x\text{dx}+C\) (*)

Để tính: \(\int x^2\ln x\text{dx}\) ta sử dụng công thức tính tích phân từng phần như sau:

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\ln x\\v'=x^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=\dfrac{1}{x}\\v=\dfrac{1}{3}x^3\end{matrix}\right.\)

Suy ra:

\(\int x^2\ln x\text{dx}=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}\int x^2\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{3}x^3\ln x-\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}x^3\)

Thay vào (*) ta tính được nguyên hàm của hàm số đã cho bằng:

(*) \(=\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+\dfrac{1}{9}x^3+C\)

\(=\dfrac{4}{9}x^3-\dfrac{1}{3}x^3\ln x+C\)

b) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+\sin^2x\\v'=\sin x\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+2\sin x.\cos x\\v=-\cos x\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+\sin^2x\right)\sin x\text{dx}=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\left(1+2\sin x\cos^2x\right)\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\int\cos x\text{dx}+2\int\sin x.\cos^2x\text{dx}\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\int\cos^2x.d\left(\cos x\right)\)

\(=-\left(x+\sin^2x\right)\cos x+\sin x-2\dfrac{\cos^3x}{3}+C\)

c) Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=x+e^x\\v'=e^{2x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}u'=1+e^x\\v=\dfrac{1}{2}e^{2x}\end{matrix}\right.\)

Ta có:

\(\int\left(x+e^x\right)e^{2x}\text{dx}=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int\left(1+e^x\right)e^{2x}\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}\int e^{2x}\text{dx}-\dfrac{1}{2}\int e^{3x}\text{dx}\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(x+e^x\right)e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}e^{3x}\)

\(=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+\dfrac{1}{3}e^{3x}\)

Để tìm một số nguyên hàm ta có thể lưu ý và áp dụng nhận xetsau : nguyên hàm của một phân thức mà tử số của nó là vi phân của mẫu số là bằng logarit của đại lượng tuyệt đối của mẫu số :

\(\int\frac{u'dx}{u}=\int\frac{du}{u}=\ln\left|u\right|+C\)

a) \(\int\frac{\cos2x}{\sin x\cos x}dx=2\int\frac{\cos2x}{\sin2x}dx=\int\frac{d\left(\sin2x\right)}{\sin2x}=\ln\left|\sin2x\right|+C\)

b)\(\int\frac{e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{-6e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{d\left(1-3e^{2x}\right)}{1-3e^{2x}}=-\frac{1}{6}\ln\left|1-3e^{2x}\right|+C\)

c)\(\int\frac{2x-5}{x^2-5x+7}dx=\int\frac{d\left(x^2-5x+7\right)}{x^2-5x+7}=\ln\left|x^2-5x+7\right|+C\)

                                                \(=\ln\left(x^2-5x+7\right)+C\)

d)\(\int\frac{xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{2xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C\)

e) \(\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\sin xdx}{\sin^2x}=\int\frac{d\left(\cos x\right)}{\cos^2x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C\)

1.

\(I=\int\dfrac{cot^2x}{sin^6x}dx=\int\dfrac{cot^2x}{sin^4x}.\dfrac{1}{sin^2x}=\int cot^2x\left(1+cot^2x\right)^2.\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

Đặt \(u=cotx\Rightarrow du=-\dfrac{1}{sin^2x}dx\)

\(I=-\int u^2\left(1+u^2\right)^2du=-\int\left(u^6+2u^4+u^2\right)du\)

\(=-\dfrac{1}{7}u^7+\dfrac{2}{5}u^5+\dfrac{1}{3}u^3+C\)

\(=-\dfrac{1}{7}cot^7x+\dfrac{2}{5}cot^5x+\dfrac{1}{3}cot^3x+C\)

2.

\(I=\int\left(e^{sinx}+cosx\right).cosxdx=\int e^{sinx}.cosxdx+\int cos^2xdx\)

\(=\int e^{sinx}.d\left(sinx\right)+\dfrac{1}{2}\int\left(1+cos2x\right)dx\)

\(=e^{sinx}+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4}sin2x+C\)

\(=\int\left(6x^2-\dfrac{4}{x}+sin3x-cos4x+e^{2x+1}+9^{x-1}+\dfrac{1}{cos^2x}-\dfrac{1}{sin^2x}\right)dx\)

\(=2x^3-4ln\left|x\right|-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}+\dfrac{9^{x-1}}{ln9}+tanx+cotx+C\)

\(\int sin^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosx\right)dx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}sinx+C\)

\(\int cos^23xdx=\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos6x\right)dx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}sin6x+C\)

\(\int4cos^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(2+2cosx\right)dx=2x+2sinx+C\)

a) \(\sin^4x=\left(\sin^2x\right)^2=\left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2\cos2x+\cos^22x\right)\)

\(=\dfrac{1}{4}\left(1-2.\cos2x+\dfrac{1+\cos4x}{2}\right)\)

\(=\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\)

Vậy:

\(\int\sin^4x\text{dx}=\int\left(\dfrac{3}{8}-\dfrac{1}{2}\cos2x+\dfrac{1}{8}\cos4x\right)\text{dx}\)

\(=\dfrac{3}{8}x-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{32}\sin4x+C\)

Biến đổi :

\(4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :

\(\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}\)

Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\)

Do đó, 

\(F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C\)