Tính tích phân bất định :
\(I=\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)^2}dx\)
Tính tích phân bất định :
\(I=\int\frac{a_1\sin x+b_1\cos x}{\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)^2}dx\)
Thực hiện theo các bước sau :
Bước 1 : Biến đổi :
\(a_1\sin x+b_1\cos x=A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)\)
Bước 2 : Khi đó :
\(I=\int\frac{A\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)+B\left(a_2\cos x-b_2\sin x\right)}{\left(a_2\sin x+b_2\cos x\right)^2}dx=A\int\frac{dx}{a_2\cos x+b_2\sin x}+B\int\frac{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)dx}{\left(a_2\cos x+b_2\sin x\right)^2}\)
\(=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\int\frac{dx}{\sin\left(x+\alpha\right)}-B\int\frac{1}{a_2\sin x+b_2\cos x}dx=\frac{A}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\ln\left|\tan\left(\frac{x+\alpha}{2}\right)\right|-\frac{B}{a_2\cos x+b_2\sin x}+C\)
Trong đó : \(\sin\alpha=\frac{b_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}_{ }};\cos\alpha=\frac{a_2}{\sqrt{a^2_2+b^2_2}}\)
Tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác sau :
\(f\left(x\right)=\frac{8\cos x}{2+\sqrt{3}\sin2x-\cos2x}\)
Biến đổi :
\(\frac{8\cos x}{3\sin^2x+2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos x^2}=\frac{8\cos x}{\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)^2}\)
Giả sử :
\(8\cos x=a\left(\sqrt{3}\sin x+\cos x\right)+b\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)=\left(a\sqrt{3}-b\right)\sin x+\left(a+b\sqrt{3}\right)\cos x\)
Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :
\(\begin{cases}a\sqrt{3}-b=0\\a+b\sqrt{3}=8\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=2\\b=2\sqrt{3}\end{cases}\)
Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)\right)}{\sqrt{3}\sin x-\cos x}\)
Trong đó :
\(F\left(x\right)=\int\frac{2dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}-\frac{2\sqrt{3}\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)dx}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\ln\left|\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\right|-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sin x+\cos x}+C\)
Tính tích phân bất định hàm số hữu tỉ sau :
\(I=\int x^2\left(2-3x^2\right)^8dx\)
Đặt \(t=2-3x^2\)\(\Rightarrow\begin{cases}dt=-6xdx\\x^2=\frac{2-t}{3}\end{cases}\)\(\Leftrightarrow x^2\left(2-3x^2\right)^8=\left(\frac{2-t}{3}\right)t^8=\frac{1}{3}\left(2t^8-t^9\right)\)
Vậy :
\(I=\int x^2\left(2-3x^2\right)^8dx=\frac{1}{3}\left(2\int t^8dt-\int t^9dt\right)=\frac{2}{27}t^9-\frac{1}{30}t^{10}+C\)
\(=\frac{2}{27}\left(2-3x^2\right)^9-\frac{1}{30}\left(2-3x^2\right)^{10}+C\)
Tính tích phân bất định hàm số hữu tỉ sau :
\(\int\frac{x^3dx}{\sqrt{1-x}}\)
Đặt \(t=\sqrt{1-x}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x=1-t^2\\dx=-2tdt\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x}}\)\(=\frac{\left(1-t^2\right)\left(-2tdt\right)}{t}=-2\left(1-2t^2+3t^4-t^6\right)dt\)
Vậy : \(\int\frac{x^3dx}{\sqrt{1-x}}=\int\left(-2+4t^2-6t^4+2t^6\right)dt=-2t+\frac{4}{3}t^3-\frac{6}{5}t^5+\frac{2}{7}t^7+C\)
= \(-2\sqrt{1-x}+\frac{4}{3}\left(1-x\right)\sqrt{1-x}-\frac{6}{5}\left(1-x\right)^2\sqrt{1-x}+\frac{2}{7}\left(1-x\right)^3\sqrt{1-x}+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a)\(I_1=\int\left(1+\sqrt{x}\right)^{10}dx\)
b) \(I_2=\int\frac{xdx}{\sqrt[3]{x^2+a}}\)
c) \(I_3=\int\frac{x^2}{\sqrt{x^6+6}}\)
a) Ta thực hiện phép đổi biến :
\(1+\sqrt{x}=t\) ; \(x=\left(t-1\right)^2\) ; \(dx=2\left(t-1\right)dt\)
Khi đó \(\left(1+\sqrt{x}\right)^{10}dx=t^{10}.2\left(t-1\right)dt\)
tức là :
\(I_1=2\int\left(t^{11}-t^{10}\right)dt=2\int t^{11}dt-2\int t^{10}dt=2\left(\frac{t^{12}}{12}-\frac{t^{11}}{11}\right)+C\)
\(=\frac{1}{66}t^{11}\left(11t-12\right)+c\)
\(=\frac{1}{66}\left(1+\sqrt{x}\right)^{11}\left[11\sqrt{x}-1\right]+C\)
b) Đặt \(x^2+a=t\)
Ta có \(2xdx=dt\)
\(I_2=\frac{1}{2}\int\frac{dt}{\sqrt[3]{t}}=\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{3}}dt=\frac{1}{2}.\frac{3}{2}t^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(x^2+a\right)^2+C}\)
c) Đặt \(x^3=t\Rightarrow3x^2dx=dt\)
và \(I_3=\frac{1}{3}\int\frac{dt}{\sqrt{t^2+6}}=\frac{1}{3}\ln\left[t+\sqrt{t^2+6}\right]+C\)
\(=\frac{1}{3}\ln\left[x^2+\sqrt{x^2+6}\right]+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(I_1=\int\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx\)
b) \(I_2=\int\frac{e^{2x}}{\sqrt[4]{e^x+1}}dx\)
c) \(I_3=\int x^2e^{x^3+6}dx\)
a) Đặt \(1+\ln x=t\) khi đó \(\frac{dx}{x}=dt\) và do đó
\(I_1=\int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+\ln x\right)^3}+C\)
b) Đặt \(\sqrt[4]{e^x+1}=t\) khi đó \(e^x+1=t^4\Rightarrow e^x=t^4-1\) và \(e^xdx=4t^3dt\) , \(e^{2x}dx=e^x.e^xdx=\left(t^4-1\right)4t^3dt\)
Do đó :
\(I_2=4\int\frac{t^3\left(t^4-1\right)}{t}dt=4\int\left(t^6-t^2\right)dt=4\left[\frac{t^7}{7}-\frac{t^3}{3}\right]+C\)
\(=4\left[\frac{1}{7}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^7}-\frac{1}{3}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\right]+C\)
c) Lưu ý rằng \(x^2dx=\frac{1}{3}d\left(x^3+C\right)\) do đó :
\(I_3=\int x^2e^{x^{3+6}dx}=\frac{1}{3}\int e^{x^{3+6}}d\left(x^3+6\right)=\frac{1}{3}e^{x^{3+6}}+C\)
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I_1=\int\frac{\left(x^2+3\right)dx}{\sqrt{\left(2x-5\right)^3}}\)
b)\(I_2=\int\frac{dx}{\left(3x-1\right)\ln\left(3x-1\right)}\)
c) \(I_3=\int\frac{\left(x^2+1\right)dx}{\sqrt{x^6-7x^4+x^2}}\)
a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)
Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)
\(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)
Trở về biến x, thu được :
\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)
b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)
c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)
\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)
\(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)
Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác sau :
\(I=\int\cos x\cos2x\cos5xdx\)
Đầu tiên ta biến đổi đồng nhất biểu thức dưới dấu nguyên hàm nhờ các công thức biến đổi tích thành tổng. Ta có :
\(\left(\cos x\cos2x\right)\cos5x=\frac{1}{2}\left[\cos\left(-x\right)+\cos3x\right]\cos5x\)
\(=\frac{1}{2}\cos x\cos5x+\frac{1}{2}\cos3x\cos5x\)
\(=\frac{1}{4}\left[\cos\left(-4x\right)+\cos6x\right]+\frac{1}{4}\left[\cos\left(-2x\right)+\cos8x\right]\)
\(=\frac{1}{4}\cos2x+\frac{1}{4}\cos4x+\frac{1}{4}\cos6x+\frac{1}{4}\cos8x\)
Như vậy :
\(I=\frac{1}{4}\int\cos2xdx+\frac{1}{4}\int\cos4xdx+\frac{1}{4}\int\cos6xdx+\frac{1}{4}\int\cos8xdx\)
\(=\frac{1}{8}\sin2x+\frac{1}{16}\sin4x+\frac{1}{24}\sin6x+\frac{1}{32}\sin8x+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(\int\frac{dx}{\sqrt[3]{5x}}\) b) \(\int e^{-\frac{x}{2}}dx\)
c) \(\int\sin\left(ax+b\right)dx\) d) \(\int\frac{dx}{5x+4}\)
a) \(\int\frac{dx}{\sqrt[3]{5x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\int x^{-\frac{1}{3}}dx=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}.\frac{3}{2}.x^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{2\sqrt[3]{5}}+C\)
b) Nhân và chia nguyên hàm cho -2 ta có :
\(\int e^{-\frac{x}{2}}=-2\int e^{-\frac{x}{2}}d\left(-\frac{x}{2}\right)=-2e^{-\frac{x}{2}}+C\)
c) \(\int\sin\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}\int\sin\left(ax+b\right)d\left(ax+b\right)=-\frac{1}{a}\cos\left(ax+b\right)+C\)
d) \(\int\frac{dx}{5x+4}=\frac{1}{5}\int\frac{5}{5x+4}dx=\frac{1}{5}\int\frac{d\left(5x+\text{4}\right)}{5x+4}=\frac{1}{5}\ln\left|5x+4\right|+C\)
Tích phân này có thể tính cách khác :
\(\int\frac{dx}{5x+4}=\frac{1}{5}\int\frac{1}{x+\frac{4}{5}}dx=\frac{1}{5}\int\frac{d\left(x+\frac{4}{5}\right)}{x+\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\ln\left|x+\frac{4}{5}\right|+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(\int3x5^{2x}dx\) b) \(\int\left(x^2+2e^x\right)dx\)
c) \(\int\frac{x^4}{x^2-1}dx\) d) \(\int\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x-2}}\)
a) Theo công thức 3) trong bảng nguyên hàm ta có :
\(\int3^x5^{2x}dx=\int3^x\left(25\right)^xdx=\int\left(75\right)^xdx=\frac{75^x}{\ln75}+C\)
b) Áp dụng các công thức I, II ( định lí 4.2) và 2), 3) trong bảng nguyên hàm ta có
\(\int\left(x^2+2e^x\right)dx=\int x^{2^{ }}dx+2\int e^xdx=\frac{1}{3}x^3+2e^x+C\)
c) \(\int\frac{x^4}{x^2-1}dx=\int\frac{x^4-1+1}{x^2-1}dx=\int\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2-1}dx+\int\frac{dx}{x^2-1}\)
\(=\int\left(x^2-1\right)dx+\int\frac{dx}{x^2-1}\)
\(=\frac{x^3}{3}+x+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\)
d) Nhân tử số và mẫu số của biểu thức dưới dấu nguyên hàm với biểu thức liên hợp với mẫu số ta thu được.
\(\int\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x-2}}=\int\frac{\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x-2}}{3}dx\)
\(=\frac{1}{3.4}\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(4x+1\right)-\frac{1}{3.4}\int\left(4x-2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(4x-2\right)\)
\(=\frac{1}{12}\left[\sqrt{\left(4x+1\right)^3}-\sqrt{\left(4x-2\right)^3}\right]+C\)