Tính tích phân bất định hàm số hữu tỉ sau :
\(\int\frac{x^3dx}{\sqrt{1-x}}\)
Tính tích phân bất định hàm số hữu tỉ sau :
\(\int\frac{x^3dx}{\sqrt{1-x}}\)
Đặt \(t=\sqrt{1-x}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x=1-t^2\\dx=-2tdt\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{x^2dx}{\sqrt{1-x}}\)\(=\frac{\left(1-t^2\right)\left(-2tdt\right)}{t}=-2\left(1-2t^2+3t^4-t^6\right)dt\)
Vậy : \(\int\frac{x^3dx}{\sqrt{1-x}}=\int\left(-2+4t^2-6t^4+2t^6\right)dt=-2t+\frac{4}{3}t^3-\frac{6}{5}t^5+\frac{2}{7}t^7+C\)
= \(-2\sqrt{1-x}+\frac{4}{3}\left(1-x\right)\sqrt{1-x}-\frac{6}{5}\left(1-x\right)^2\sqrt{1-x}+\frac{2}{7}\left(1-x\right)^3\sqrt{1-x}+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(I_1=\int\frac{\sqrt{1+\ln x}}{x}dx\)
b) \(I_2=\int\frac{e^{2x}}{\sqrt[4]{e^x+1}}dx\)
c) \(I_3=\int x^2e^{x^3+6}dx\)
a) Đặt \(1+\ln x=t\) khi đó \(\frac{dx}{x}=dt\) và do đó
\(I_1=\int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+\ln x\right)^3}+C\)
b) Đặt \(\sqrt[4]{e^x+1}=t\) khi đó \(e^x+1=t^4\Rightarrow e^x=t^4-1\) và \(e^xdx=4t^3dt\) , \(e^{2x}dx=e^x.e^xdx=\left(t^4-1\right)4t^3dt\)
Do đó :
\(I_2=4\int\frac{t^3\left(t^4-1\right)}{t}dt=4\int\left(t^6-t^2\right)dt=4\left[\frac{t^7}{7}-\frac{t^3}{3}\right]+C\)
\(=4\left[\frac{1}{7}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^7}-\frac{1}{3}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\right]+C\)
c) Lưu ý rằng \(x^2dx=\frac{1}{3}d\left(x^3+C\right)\) do đó :
\(I_3=\int x^2e^{x^{3+6}dx}=\frac{1}{3}\int e^{x^{3+6}}d\left(x^3+6\right)=\frac{1}{3}e^{x^{3+6}}+C\)
Tìm các nguyên hàm sau:
a) \(I_1=\int\frac{\left(x^2+3\right)dx}{\sqrt{\left(2x-5\right)^3}}\)
b)\(I_2=\int\frac{dx}{\left(3x-1\right)\ln\left(3x-1\right)}\)
c) \(I_3=\int\frac{\left(x^2+1\right)dx}{\sqrt{x^6-7x^4+x^2}}\)
a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)
Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)
\(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)
Trở về biến x, thu được :
\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)
b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)
c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)
Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)
\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)
\(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)
Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác sau :
\(I=\int\cos x\cos2x\cos5xdx\)
Đầu tiên ta biến đổi đồng nhất biểu thức dưới dấu nguyên hàm nhờ các công thức biến đổi tích thành tổng. Ta có :
\(\left(\cos x\cos2x\right)\cos5x=\frac{1}{2}\left[\cos\left(-x\right)+\cos3x\right]\cos5x\)
\(=\frac{1}{2}\cos x\cos5x+\frac{1}{2}\cos3x\cos5x\)
\(=\frac{1}{4}\left[\cos\left(-4x\right)+\cos6x\right]+\frac{1}{4}\left[\cos\left(-2x\right)+\cos8x\right]\)
\(=\frac{1}{4}\cos2x+\frac{1}{4}\cos4x+\frac{1}{4}\cos6x+\frac{1}{4}\cos8x\)
Như vậy :
\(I=\frac{1}{4}\int\cos2xdx+\frac{1}{4}\int\cos4xdx+\frac{1}{4}\int\cos6xdx+\frac{1}{4}\int\cos8xdx\)
\(=\frac{1}{8}\sin2x+\frac{1}{16}\sin4x+\frac{1}{24}\sin6x+\frac{1}{32}\sin8x+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(\int\frac{dx}{\sqrt[3]{5x}}\) b) \(\int e^{-\frac{x}{2}}dx\)
c) \(\int\sin\left(ax+b\right)dx\) d) \(\int\frac{dx}{5x+4}\)
a) \(\int\frac{dx}{\sqrt[3]{5x}}=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\int x^{-\frac{1}{3}}dx=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}.\frac{3}{2}.x^{\frac{2}{3}}+C=\frac{3}{2\sqrt[3]{5}}+C\)
b) Nhân và chia nguyên hàm cho -2 ta có :
\(\int e^{-\frac{x}{2}}=-2\int e^{-\frac{x}{2}}d\left(-\frac{x}{2}\right)=-2e^{-\frac{x}{2}}+C\)
c) \(\int\sin\left(ax+b\right)dx=\frac{1}{a}\int\sin\left(ax+b\right)d\left(ax+b\right)=-\frac{1}{a}\cos\left(ax+b\right)+C\)
d) \(\int\frac{dx}{5x+4}=\frac{1}{5}\int\frac{5}{5x+4}dx=\frac{1}{5}\int\frac{d\left(5x+\text{4}\right)}{5x+4}=\frac{1}{5}\ln\left|5x+4\right|+C\)
Tích phân này có thể tính cách khác :
\(\int\frac{dx}{5x+4}=\frac{1}{5}\int\frac{1}{x+\frac{4}{5}}dx=\frac{1}{5}\int\frac{d\left(x+\frac{4}{5}\right)}{x+\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\ln\left|x+\frac{4}{5}\right|+C\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(\int3x5^{2x}dx\) b) \(\int\left(x^2+2e^x\right)dx\)
c) \(\int\frac{x^4}{x^2-1}dx\) d) \(\int\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x-2}}\)
a) Theo công thức 3) trong bảng nguyên hàm ta có :
\(\int3^x5^{2x}dx=\int3^x\left(25\right)^xdx=\int\left(75\right)^xdx=\frac{75^x}{\ln75}+C\)
b) Áp dụng các công thức I, II ( định lí 4.2) và 2), 3) trong bảng nguyên hàm ta có
\(\int\left(x^2+2e^x\right)dx=\int x^{2^{ }}dx+2\int e^xdx=\frac{1}{3}x^3+2e^x+C\)
c) \(\int\frac{x^4}{x^2-1}dx=\int\frac{x^4-1+1}{x^2-1}dx=\int\frac{\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{x^2-1}dx+\int\frac{dx}{x^2-1}\)
\(=\int\left(x^2-1\right)dx+\int\frac{dx}{x^2-1}\)
\(=\frac{x^3}{3}+x+\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C\)
d) Nhân tử số và mẫu số của biểu thức dưới dấu nguyên hàm với biểu thức liên hợp với mẫu số ta thu được.
\(\int\frac{dx}{\sqrt{4x+1}+\sqrt{4x-2}}=\int\frac{\sqrt{4x+1}-\sqrt{4x-2}}{3}dx\)
\(=\frac{1}{3.4}\int\left(4x+1\right)^{\frac{1}{2}}d\left(4x+1\right)-\frac{1}{3.4}\int\left(4x-2\right)^{\frac{1}{2}}d\left(4x-2\right)\)
\(=\frac{1}{12}\left[\sqrt{\left(4x+1\right)^3}-\sqrt{\left(4x-2\right)^3}\right]+C\)
Tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác sau :
a) \(\int\frac{dx}{\cos^2x\sin^2x}\) b) \(\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx\)
c) \(\int\tan^2xdx\) d) \(\int\left(5^{3x}+\frac{1}{\sin^2\left(2x+1\right)}+\frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}\right)dx\)
a) Áp dụng đồng nhất thức \(\cos^2x+\sin^2x=1\)
ta có : \(\int\frac{1}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x.\sin^2x}dx=\int\frac{dx}{\sin^2x}+\int\frac{dx}{\cos^2x}\)
\(=-\cot x+\tan x+C\)
b) Khai triển biểu thức dưới dấu nguyên hàm ta thu được :
\(\int\left(\tan x+\cot x\right)^2dx=\int\left(\tan^2x+2+\cot^2x\right)dx\)
\(=\int\left[\left(\tan^2x+1\right)+\left(\cot^2x+1\right)\right]dx\)
\(=\int\frac{dx}{\cos^2x}+\int\frac{dx}{\sin^2x}\)
\(=\tan x-\cot x+C\)
c) \(\int\tan^2xdx=\int\left(\frac{1}{\cos^2x}-1\right)dx=\tan x-x+C\)
d) \(\int\left(5^{3x}+\frac{1}{\sin^2\left(2x+1\right)}+\frac{1}{\sqrt[5]{4x-1}}\right)dx=\)
\(=\int5^{3x}dx+\int\frac{dx}{\sin^2\left(2x+1\right)}+\int\frac{dx}{\sqrt[5]{4x-1}}\)
\(=\frac{1}{3}\int5^{3x}d\left(3x\right)+\frac{1}{2}\int\frac{d\left(2x+1\right)}{\sin^2\left(2x+1\right)}+\frac{1}{4}\int\left(4x-1\right)^{-\frac{1}{5}}d\left(4x-1\right)\)
\(=\frac{5^{3x}}{3\ln5}-\frac{1}{2}\cot\left(2x+1\right)+\frac{5}{16}\sqrt[5]{\left(4x-1\right)^4+C}\)
Tìm nguyên hàm các hàm số lượng giác sau :
a) \(\int\frac{\cos2xdx}{\sin x\cos x}\) b)\(\int\frac{e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx\)
c) \(\int\frac{2x-5}{x^2-5x+7}dx\) d) \(\int\frac{xdx}{x^2+1}\) e) \(\int\frac{dx}{\sin x}\)
Để tìm một số nguyên hàm ta có thể lưu ý và áp dụng nhận xetsau : nguyên hàm của một phân thức mà tử số của nó là vi phân của mẫu số là bằng logarit của đại lượng tuyệt đối của mẫu số :
\(\int\frac{u'dx}{u}=\int\frac{du}{u}=\ln\left|u\right|+C\)
a) \(\int\frac{\cos2x}{\sin x\cos x}dx=2\int\frac{\cos2x}{\sin2x}dx=\int\frac{d\left(\sin2x\right)}{\sin2x}=\ln\left|\sin2x\right|+C\)
b)\(\int\frac{e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{-6e^{2x}}{1-3e^{2x}}dx=-\frac{1}{6}\int\frac{d\left(1-3e^{2x}\right)}{1-3e^{2x}}=-\frac{1}{6}\ln\left|1-3e^{2x}\right|+C\)
c)\(\int\frac{2x-5}{x^2-5x+7}dx=\int\frac{d\left(x^2-5x+7\right)}{x^2-5x+7}=\ln\left|x^2-5x+7\right|+C\)
\(=\ln\left(x^2-5x+7\right)+C\)
d)\(\int\frac{xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{2xdx}{x^2+1}=\frac{1}{2}\int\frac{d\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{1}{2}\ln\left(x^2+1\right)+C\)
e) \(\int\frac{dx}{\sin x}=\int\frac{\sin xdx}{\sin^2x}=\int\frac{d\left(\cos x\right)}{\cos^2x-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{1-\cos x}{1+\cos x}+C\)
Tính các nguyên hàm sau :
a) \(I_1=\int\sin\left(\ln x\right)dx\)
b) \(I_2=\int\left(x^2-2x+3\right)\sin2xdx\)
Tìm các nguyên hàm sau :
a) \(I_1=\int\log_2\left(1-3x\right)dx\)
b) \(I_2=\int\left(2x-3\right)\left(\ln x\right)^2dx\)
c)\(I_3=\int\left(4x^2+6x-7\right)\ln xdx\)
d) \(I_4=\int\left(x^2-2x+3\right)a^xdx\) 0<a, \(a\ne1\)
a) Để ý đến công thức đổi cơ số logarit \(\log_2\left(1-3x\right)=\frac{1}{\ln2}\ln\left(1-3x\right)\)
Ta viết nguyên hàm đã cho dưới dạng \(I_1=\frac{1}{\ln2}\int\ln\left(1-3x\right)dx\)
Đặt \(u=\ln\left(1-3x\right)\) , \(dv=dx\)
Khi đó \(du=\frac{-3}{1-3x}dx\), \(v=x\)
Do đó :
\(I_1=\frac{1}{\ln2}\left[x\ln\left(1-3x\right)+3\int\frac{x}{1-3x}dx\right]\)
\(=\frac{1}{\ln2}\left[x\ln\left(1-3x\right)+3\int\frac{1}{3}\left(-1+\frac{1}{1-3x}\right)dx\right]\)
\(=\frac{1}{\ln2}\left[x\ln\left(1-3x\right)-\int dx+\frac{dx}{1-3x}\right]\)
\(=\frac{1}{\ln2}\left[\left(x-\frac{1}{3}\right)\ln\left(1-3x\right)-x\right]+C\)
b) Đặt \(u=\left(\ln x\right)^2\) , \(dv=\left(2x-3\right)dx\)
Khi đó \(du=2\ln x\frac{dx}{x}\) , \(v=x^2-3x\)
Do đó
\(I_2=\left(x^2-3x\right)\left(\ln x\right)^2-2\int\left(x-3\right)\ln xdx\)
\(\int\left(x-3\right)\ln xdx=I_2\)
Ta tính \(I_2\) Ta tìm nguyên hàm bằng cách lấy nguyên hàm từng phàn một làn nữa và thu được.
\(I_2=\left(\frac{1}{2}x^2-3x\right)\ln x-\int\left(\frac{1}{2}x-3\right)dx=\frac{1}{2}\left(x^2-6x\right)\ln x-\frac{1}{4}x^2+3x\)
Từ đó suy ra \(I_2=\left(x^2-3x\right)\left(\ln x\right)^2-\left(x^2-6x\right)\ln x+\frac{1}{2}x^2-6x+C\)
c) Đặt \(u=\ln x\) , \(dv=\left(4x^2+6x-7\right)dx\)
khi đó \(du=\frac{dx}{x}\) , \(v=\int\left(4x^2+6x-7\right)dx=x^4+3x^2-7x\)
Do đó
\(I_3=\left(x^4+3x^2-7x\right)\ln x-\int\frac{x^4+3x^2-7x}{x}dx\)
\(=\left(x^4+3x^2-7x\right)\ln x-\left(\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}-7x\right)+C\)
d) Đặt \(u=x^2-2x+3,a^xdx=dv\). Khi đó \(du=\left(2x-2\right)dx,v=\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}\)
Do vậy \(I_4=\frac{\left(x^2-2x+3\right)a^x}{\ln a}-\frac{1}{\ln a}\int\left(2x-2\right)a^xdx\)
\(\int\left(2x-2\right)a^xdx=I_4\)*
Ta tính \(I_4\)* bằng cách lấy nguyên hàm từng phần một lần nữa. Ta có :
\(I_4\)*\(=\int\left(2x-2\right)a^xdx=\frac{\left(2x-2\right)a^x}{\ln a}-\frac{1}{\ln a}\int2a^xdx\)
\(=\frac{\left(2x-2\right)a^x}{\ln a}-\frac{2a^x}{\left(\ln a\right)^2}\)
Từ đó suy ra \(I_4=\left[\frac{x^2-2x+3}{\ln a}-\frac{2x-2}{\left(\ln a\right)^2}+\frac{2}{\left(\ln a\right)^3}\right]a^x+C\)