a) Đặt \(1+\ln x=t\) khi đó \(\frac{dx}{x}=dt\) và do đó
\(I_1=\int\sqrt{t}dt=\frac{2}{3}t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}\sqrt{\left(1+\ln x\right)^3}+C\)
b) Đặt \(\sqrt[4]{e^x+1}=t\) khi đó \(e^x+1=t^4\Rightarrow e^x=t^4-1\) và \(e^xdx=4t^3dt\) , \(e^{2x}dx=e^x.e^xdx=\left(t^4-1\right)4t^3dt\)
Do đó :
\(I_2=4\int\frac{t^3\left(t^4-1\right)}{t}dt=4\int\left(t^6-t^2\right)dt=4\left[\frac{t^7}{7}-\frac{t^3}{3}\right]+C\)
\(=4\left[\frac{1}{7}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^7}-\frac{1}{3}\sqrt[4]{\left(e^x+1\right)^3}\right]+C\)
c) Lưu ý rằng \(x^2dx=\frac{1}{3}d\left(x^3+C\right)\) do đó :
\(I_3=\int x^2e^{x^{3+6}dx}=\frac{1}{3}\int e^{x^{3+6}}d\left(x^3+6\right)=\frac{1}{3}e^{x^{3+6}}+C\)
