Bài 5:

\(C=\frac{2\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}=\frac{2(\sqrt{x}-2)+1}{\sqrt{x}-2}=2+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\)

Để $C$ nguyên nhỏ nhất thì $\frac{1}{\sqrt{x}-2}$ là số nguyên nhỏ nhất.

$\Rightarrow \sqrt{x}-2$ là ước nguyên âm lớn nhất

$\Rightarrow \sqrt{x}-2=-1$

$\Leftrightarrow x=1$ (thỏa mãn đkxđ)

Bài 6:

$D(\sqrt{x}+1)=x-3$

$D^2(x+2\sqrt{x}+1)=(x-3)^2$

$2D^2\sqrt{x}=(x-3)^2-D^2(x+1)$ nguyên 

Với $x$ nguyên ta suy ra $\Rightarrow D=0$ hoặc $\sqrt{x}$ nguyên 

Với $D=0\Leftrightarrow x=3$ (tm)

Với $\sqrt{x}$ nguyên:

$D=\frac{(x-1)-2}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1-\frac{2}{\sqrt{x}+1}$

$D$ nguyên khi $\sqrt{x}+1$ là ước của $2$

$\Rightarrow \sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}$

$\Leftrightarrow x=0; 1$

Vì $x\neq 1$ nên $x=0$.

Vậy $x=0; 3$

Bài 6: 

Để D nguyên thì \(x-3⋮\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\in\left\{1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;1\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;1\right\}\)

\(B+1=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}+1=\dfrac{3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}>0\Rightarrow B>-1\)

\(B-2=\dfrac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3}-2=\dfrac{-7}{\sqrt{x}+3}< 0\Rightarrow B< 2\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}B=0\\B=1\end{matrix}\right.\)

- Với \(B=0\Rightarrow\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\dfrac{1}{4}\notin Z\) (loại)

- Với \(B=1\Rightarrow2\sqrt{x}-1=\sqrt{x}+3\Leftrightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow x=16\)

Lời giải:

ĐKXĐ: $x>0; x\neq 4$

Sửa lại đề 1 chút.
\(A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right).\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\)

\(=\frac{2}{\sqrt{x}+2}\)

\(B=\frac{7}{3}A=\frac{14}{3(\sqrt{x}+2)}\)

Với mọi $x>0$ thì hiển nhiên $B>0$. Mặt khác, $\sqrt{x}+2\geq 2$ nên $B=\frac{14}{3(\sqrt{x}+2)}\leq \frac{14}{6}=\frac{7}{3}$

Vậy $0< B\leq \frac{7}{3}$. $B$ đạt giá trị nguyên thì $B=1;2$

$B=1\Leftrightarrow \frac{14}{3(\sqrt{x}+2)}=1$

$\Leftrightarrow x=\frac{64}{9}$ (thỏa mãn)

$B=2\Leftrightarrow \frac{14}{3(\sqrt{x}+2)}=2$

$\Leftrightarrow x=\frac{1}{9}$ (thỏa mãn)

\(P=B:A\)

\(=\dfrac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-9}\cdot\dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{-3}{\sqrt{x}+3}\)

P nguyên

=>căn x+3 thuộc Ư(-3)

=>căn x+3 thuộc {1;-1;3;-3}

=>căn x+3=3

=>x=0

`C=(sqrtx+3)/(sqrtx-2)=(sqrtx-2+5)/(sqrtx-2)=1+5/(sqrtx-2)`

Ta cần tìm `max(5/(sqrtx-2))`

Nếu `0<=x<4` thì `5/(sqrtx-2)<0`

Nếu `x>4` thì `5/(sqrtx-2)>0`

Do đó ta chỉ xét `x>4` hay `x>=5(` Do `x` nguyên `)`

`=>sqrtx-2>=sqrt5-2`

`=>5/(sqrtx-2)<=5/(sqrt5-2)`

`=>C<=1+5/(sqrt5-2)=11+sqrt5`

Vậy `C_(max)=11+sqrt5<=>x=5`

Lời giải:

$M=\frac{2(\sqrt{x}-3)+7}{\sqrt{x}-3}=2+\frac{7}{\sqrt{x}-3}$

Để $M$ nguyên thì $\frac{7}{\sqrt{x}-3}$

Với $x$ nguyên không âm thì điều này xảy ra khi mà $\sqrt{x}-3$ là ước của $7$

$\Rightarrow \sqrt{x}-3\in\left\{\pm 1; \pm 7\right\}$

$\Rightarrow \sqrt{x}\in \left\{4; 2; 10; -4\right\}$

Vì $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}\in \left\{4; 2; 10\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{16; 4; 100\right\}$ (tm)

Lời giải:

ĐK: $x\geq 0; x\neq 4; x\neq 9$

a) 

\(P=\frac{2\sqrt{x}-9}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}+\frac{(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}-\frac{(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\frac{2\sqrt{x}-9+(2\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-2)-(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}-3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{x-\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}\)

\(=\frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}-2)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)

b) \(P=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}\)

Với $x$ nguyên, để $P$ nguyên thì $\sqrt{x}-3$ phải là ước nguyên của $4$

Mà $\sqrt{x}-3\geq -3$ nên:

$\Rightarrow \sqrt{x}-3\in\left\{\pm 1;\pm 2;4\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{4;16;1;25;49\right\}$ (đều thỏa mãn.

Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 0; x\neq 9$

\(P=2A:B=\frac{2(\sqrt{x}+1)}{x-9}: \frac{2}{\sqrt{x}-3}=\frac{2(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}.\frac{\sqrt{x}-3}{2}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}\)

\(P=1-\frac{2}{\sqrt{x}+3}\)

Để $P$ nhỏ nhất thì $\frac{2}{\sqrt{x}+3}$ lớn nhất

$\Leftrightarrow \sqrt{x}+3$ nhỏ nhất

Với $x$ nguyên dương, $\sqrt{x}+3$ nhỏ nhất bằng $\sqrt{1}+3=4$ khi $x=1$

$\Rightarrow P_{\min}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}=\frac{1+1}{1+3}=\frac{1}{2}$

Đề sai rồi bạn