\(A=1+3+3^2+3^3+...+3^{101}\)
\(=>3A=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{102}\)
\(=>3A-A=\left(3+3^2+3^3+3^4+...+3^{102}\right)-\left(1+3+3^2+3^3+...+3^{101}\right)\)
\(=>2A=3^{102}-1\)
\(=>A=\dfrac{3^{102}-1}{2}\)

\(S=\left(1+3+3^2\right)+3^3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{96}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=13+3^3.13+...+3^{96}.13=13\left(1+3^3+...+3^{96}\right)⋮13\)

\(S=3+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6+3^7+3^8+3^9\\ =\left(3+3^2+3^3\right)+3^3.\left(3+3^2+3^3\right)+3^6.\left(3+3^2+3^3\right)\\ =39+3^3.39+3^6.39\\ =-39.\left(-1-3^3-3^6\right)⋮\left(-39\right)\)

S = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸ + 3⁹

S = ( 3 + 3² + 3³ ) +3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸ + 3⁹ 

S = 39 + 3⁴ + 3⁵ + 3⁶ + 3⁷ + 3⁸ + 3⁹

Vì 39 ⋮ -39

<=> S ⋮ -39

A = 8⁸ + 2²⁰

= (2³)⁸ + 2²⁰

= 2²⁴ + 2²⁰

= 2²⁰.(2⁴ + 1)

= 2²⁰.17 ⋮ 17

Vậy A ⋮ 17

Đặt \(A=1+3+3^2+3^3+3^4+\cdot\cdot\cdot+3^{2023}+3^{2024}\)

\(=(1+3+3^2)+(3^3+3^4+3^5)+(3^6+3^7+3^8)+\dots+(3^{2022}+3^{2023}+3^{2024})\\=13+3^3\cdot(1+3+3^2)+3^6\cdot(1+3+3^2)+\dots+3^{2022}\cdot(1+3+3^2)\\=13+3^3\cdot13+3^6\cdot13+\dots+3^{2022}\cdot13\\=13\cdot(1+3^3+3^6+\dots+3^{2022})\)

Vì \(13\cdot(1+3^3+3^6+\dots+3^{2022})\vdots13\)

nên \(A\vdots13\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Đặt S=1+3+3²+3³+3⁴+⋅⋅⋅+3²⁰²³+3²⁰²⁴

S=(1+3+3²)+(3³+3⁴+3⁵)+⋯+(3²⁰²²+3²⁰²³+3²⁰²⁴)

S=13+3³(1+3+3²)+...+3²⁰²²(1+3+3²)

S=13+3³.13+...+3²⁰²².13

S=13(3³+...+3²⁰²²) ⋮ 13

Vậy S⋮13

                              Giải

Gọi 2011 số đó lần lượt là a₁,a₂,...,a₂₀₁₁

Theo bài ra tổng 5 số bất kì của 2011 số trên đều chia hết cho 25. Trừ ra một số ta có thể nhóm 2010 số còn lại thành 402 cặp

Ta có: (a₂+a₃+a₄+a₅+a₆)+(a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁)+\(.\)..+(a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)\(⋮\)25( trừ ra số a₁) (1)

(a₁+a₃+a₄+a₅+a₆)+(a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁)+...+(a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)⋮25( trừ ra số a₂) (2)

Tiếp tục quá trình 

..........

cho đến 

(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅)+(a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀)+...+(a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀)\(⋮\)25​(TRỪ RA Số a2011)(2011)

Nếu cộng tất cả các vế trái  của (1), (2), ...(2011) lại với nhau

ta thấy đc rằng mỗi một số trong 2011 số trên xuất hiện 2010 lần

=> 2010(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+...+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)\(⋮\)25

=> 402(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+...+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)\(⋮\)\(5\)Vì (402,5)=1

=> a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+...+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁⋮5

​(a₁+a₃+a₄+a₅+a₆)+(a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁)+...+(a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)\(⋮\)5 \(\left(đpcm\right)\)

Giải

Gọi 2011 số đó lần lượt là a1,a2,...,a2011

Theo bài ra tổng 5 số bất kì của 2011 số trên đều chia hết cho 25. Trừ ra một số ta có thể nhóm 2010 số còn lại thành 402 cặp

Ta có: (a₂+a₃+a₄+a₅+a₆)+(a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁)+...+(a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)⋮25( trừ ra số a1) (1)

(a₁+a₃+a₄+a₅+a₆)+(a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁)+...+(a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)⋮25( trừ ra số a2) (2)

Tiếp tục quá trình 

..........

cho đến 

(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅)+(a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀)+...+(a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀)⋮25​(TRỪ RA Số a2011)(2011)

Nếu cộng tất cả các vế trái  của (1), (2), ...(2011) lại với nhau

ta thấy đc rằng mỗi một số trong 2011 số trên xuất hiện 2010 lần

=> 2010(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+...+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)⋮25

=> 402(a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀+...+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)⋮5Vì (402,5)=1

=> a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10+...+a2006+a2007+a2008+a2009+a2010+a2011⋮5

​(a₁+a₃+a₄+a₅+a₆)+(a₇+a₈+a₉+a₁₀+a₁₁)+...+(a₂₀₀₇+a₂₀₀₈+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀+a₂₀₁₁)⋮5(đpcm)

\(B=3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2009}+3^{2010}\)

\(=\left(3+3^2\right)+\left(3^3+3^4\right)+...+\left(3^{2009}+3^{2010}\right)\)

\(=3\left(1+3\right)+3^3\left(1+3\right)+...+3^{2009}\left(1+3\right)\)

\(=4.\left(3+3^3+...+3^{2009}\right)\)

⇒ \(B\) ⋮ 4

b: \(C=5\left(1+5+5^2\right)+...+5^{2008}\left(1+5+5^2\right)=31\cdot\left(5+...+5^{2008}\right)⋮31\)

915370

là kết quả

Là sao