Lâu rồi mới làm một bài :))

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(x^2+3x+y^2+3y+\frac{9}{x^2+y^2+1}=\left(x^2+y^2+1+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right)+\left(3x+3y\right)-1\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{x^2+y^2+1}}+3.2\sqrt{xy}-1=6+6-1=11\).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = 1.

Vậy Min D = 11 khi và chỉ khi x = y = 1.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta được: \(2xy-4=x+y\ge2\sqrt{xy}\)

Đặt \(\sqrt{xy}=t\)thì ta có: \(2t^2-2t-4\ge0\Leftrightarrow2\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\Rightarrow t\ge2\)

\(\Rightarrow xy\ge4\)

\(P=xy+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge xy+\frac{2}{xy}=\left(\frac{2}{xy}+\frac{xy}{8}\right)+\frac{7xy}{8}\ge2\sqrt{\frac{2}{xy}.\frac{xy}{8}}+\frac{7.4}{8}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(x^2+9\geq 2\sqrt{9x^2}=6x\)

\(\Rightarrow S\geq 6x-x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}=5x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

\(x+\frac{9}{x}\geq 2\sqrt{9}=6\)

\(y+\frac{1}{y}\geq 2\sqrt{1}=2\)

\(4x+2y=2(2x+y)\geq 14\)

Cộng theo vế: \(\Rightarrow 5x+3y+\frac{9}{x}+\frac{1}{y}\geq 22(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow S\geq 22\Leftrightarrow S_{\min}=22\)

Dấu bằng xảy ra khi $x=3,y=1$

có đấy. toán nâng cao lớp 6 có đó!~

cuc tri cua lop 8 9 mà

\(a.\) 

\(\text{*)}\) Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho hai số thực dương  \(x,y,\)  ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)  (do  \(xy=1\)  )

\(\Rightarrow\)  \(3\left(x+y\right)\ge6\)

nên  \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)

\(\Rightarrow\)  \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)

\(\text{*)}\)  Tiếp tục áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\)  ta có:

\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)

Do đó,  \(D\ge6+5=11\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi  \(x=y=1\)

Vậy,  \(D_{min}=11\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây

b

\(8\sqrt{x-1}=4.2.\sqrt{x-1}.1\le4.\left(x-1+1\right)=4x\)

\(x.\sqrt{16-3x^2}\le\frac{x^2+16-3x^2}{2}=8-x^2\)

\(\Rightarrow y\le4x-x^2+8=-\left(x-2\right)^2+12\le12\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2\)

cần lưu ý 2 bđt sau :(a,b>0) 1/a + 1/b >= 4/(a+b) , (a+b)² >= 4ab (dâu1 "=" khi a=b)

có x+y=1 =>(x+y)²=1=>x²+y²=1-2xy

A=1/1-2xy + 1/2xy + 1/2xy  >= 4/1-2xy+2xy + 2/4xy >= 4+2/(x+y)² >= 6

Dấu "=" khi x=y=1/2