Sửa đề : CM \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

Ta có : \(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a^3+b^3+3a^2b+3b^2a\right)+c^3-3a^2b-3b^2a-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2-3ab\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right]\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=VP\)

\(\left(đpcm\right)\)

ez mà :)))

bạn ơi, hình như bạn nhớ nhầm rồi đấy, ko có HĐT đó đâu, mà có HĐT thức ấy nhưng a+b+c = 0  nữa cơ

Đặt a^2-bc=x, b^2-ac=y, c^2-ab=z

x^3+y^3+z^3>=3abc

( tự chuyển vế phân )<=> (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0

Ta có: (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2 >= 0   

<=> x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx >= 0 (1)

( coi a=x, b=y, c=z )

=> a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca >= 0

<=> (a^2-bc)+(b^2-ca)+(c^2-ab) >= 0

<=> x+y+z >= 0 (2)

Từ (1),(2) => (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) >= 0

=> Đpcm

a)  \(VT=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=\left(a+b\right)^3+3c\left(a+b\right)\left(a+b+c\right)+c^3-a^3-b^3-c^3\)

\(=a^3+b^3+c^3+3ab\left(a+b\right)+3\left(a+b\right)\left(ac+bc+c^2\right)-a^3-b^3-c^3\)

\(=3\left(a+b\right)\left(ab+ac+bc+c^2\right)\)

\(=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=VP\)

b)  \(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=VP\)

Biến đổi vế trài ta có

a³+b³+c³-3abc+3ab(a+b)-3ab(a+b)

=(a+b)(a²-ab+b²)-3ab(a+b+c)+3ab(a+b)+c³

=(a+b)(a+b)²+c³-3ab(a+B+c)

=......................

Bn cứ nhóm lại là = vế phải.

bạn thiếu dấu cộng giữa b² và c² vì vậy vế phải là (a+b+c)(a²+b²+c² -ab-bc-ac)

Ta có : a³+b³+c³ -3abc = (a+b)³ -3ab(a+b)+c³ -3abc = (a+b)³ +c³  -3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)³ -3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)

                                   =(a+b+c)((a+b+c)²-3(ac+bc)-3ab)

                                   =(a+b+c)(a²+b²+c² +2ab +2ac +2bc -3ab -3bc -3ac )

                                   =(a+b+c)(a²+b² +c²-ab-bc-ac)=vp (đpcm)

Có: a3+b3+c3−3abc

=a3+3a2b+3ab2+b3+c3−3a2b−3ab2−3abc

=(a+b)3+c3−3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+2ab+b2−(a+b)c+c2)−3ab(a+b+c)

=(a+b+c)(a2+b2+c2+2ab−ac−bc−3ab)

=(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)(đpcm)

VT = a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b)(a² - ab + b²) + c³ - 3abc

= (a + b)(a² + 2ab + b² - 3ab) + c³ - 3abc

= (a + b)³ - 3ab(a + b) + c³ - 3abc

= (a + b+ c)[(a + b)² - c(a + b) + c²] - 3ab(a + b+  c)

= (a + b + c))(a² + 2ab + b² - ac - bc + c² - 3abc)

= (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - ac - bc) = VP

=> ĐPCM

Sửa đề :

VP= (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

     =a³+ab²+ac²-a²b-abc-ca²+ba²+b³+bc²-ab²-b²c-abc+ca²+cb²+c³-abc-bc²-c²a

     =a³+b³+c³-3abc

Cách này đỡ phức tạp hơn cách của edogawa conan

Biến đổi VP thì dễ hơn -.-

Sửa đề như anh Sơn :> 

VP = ( a + b + c )( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

      = a( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + b( a² + b² + c² - ab - bc - ca ) + c( a² + b² + c² - ab - bc - ca )

      = a³ + ab² + ac² - a²b - abc - ca² + a²b + b³ + bc² - ab² - b²c - abc + ca² + cb² + c³ - abc - bc² - c²a

      = a³ + b³ + c³ - 3ab = VT ( đpcm )

Chịu khó quá

\(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=VP\)

\(VP\left(đề\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2c^2-ab-bc-ca\right)\ne VP@TN\)

a)\(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{2a}{a+b+c}\) tương tự ta có ĐPCM

b)chính nó là BĐT Schur bậc 3 cách c/m nhiều vô kể

Giải:

Ta có: \(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)

\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3a^2b-3ab^2-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)^3\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2-3ab\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc\right)\)

\(=VP\) (Đpcm)

Ta có:

\(VP=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(=a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c+a^2b+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-abc+a^2c+b^2c+c^3-abc-bc^2-ac^2\)

\(=a^3+b^3+c^3-3abc=VT\)

\(\rightarrow\) đpcm

Chúc bạn học tốt!!!

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

Ta có VP: \(\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

\(=a^3+ab^2+ac^2-a^2b-abc-a^2c+ba^2+b^3+bc^2-ab^2-b^2c-bac+ca^2+cb^2+c^3-cab-bc^2-ac^2\)

\(=a^3+b^3+c^3-3abc\)

Vậy \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)