\(B=2021\cdot1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot2022\cdot\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{2022}\right)⋮2021\)

Tham khảo

\(\text{+)}\)Ta có:\(5\equiv-1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow5^{2022}\equiv\left(-1\right)^{2022}\left(mod3\right)\left(1\right)\)

\(\text{+)}\)Ta có:\(2\equiv-1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2^{2023}\equiv\left(-1\right)^{2023}\left(mod3\right)\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\Rightarrow5^{2022}+5^{2023}\equiv0\left(mod3\right)\)

Vậy...

Lời giải:
Cho $n=1$ thì $2023^n-1=2023^1-1=2022\vdots 2022$

Thực chất là với  mọi số $n\in\mathbb{N}$ thì $2023^n-1\vdots 2022$

Lời giải:
$a=1+5+5^2+5^3+...+5^{2022}+5^{2023}$

$5a=5+5^2+5^3+5^4+....+5^{2023}+5^{2024}$

$\Rightarrow 5a-a=5^{2024}-1$

$\Rightarrow 4a=5^{2024}-1$

$\Rightarrow 4a+1=5^{2024}\vdots 5^{2023}$ (đpcm)

Lời giải:

\(A=2.2022^{2023}+2(1^{2023}+2^{2023}+3^{2023}+...+1010^{2023}+1011^{2023}+1012^{2023}+...+2021^{2023})\)

\(=2.2022^{2023}+2[(1^{2023}+2021^{2023})+(2^{2023}+2019^{2023})+...+(1010^{2023}+1012^{2023})+1011^{2023}]\)

\(=2.2022^{2023}+2.1011^{2023}+2[(1^{2023}+2021^{2023})+(2^{2023}+2019^{2023})+...+(1010^{2023}+1012^{2023})]\)

Dễ thấy: $2.2022^{2023}\vdots 2022; 2.1011^{2023}=2022.1011^{2023}\vdots 2022$

Đối với biểu thức trong ngoặc vuông thì: Nhớ rằng với mọi $n$ lẻ thì $a^n+b^n\vdots a+b$ nên $1^{2023}+2021^{2023}\vdots 2022; 2^{2023}+2019^{2023}\vdots 2022;...; 1010^{2023}+1012^{2023}\vdots 2022$

$\Rightarrow 2[(1^{2023}+2021^{2023})+(2^{2023}+2019^{2023})+....+(1010^{2023}+1012^{2023})]\vdots 2022$

Do đó $A\vdots 2022$

a) Ta có:

\( A = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \)

Để chứng minh A chia hết cho 5, ta xét tổng S = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 5).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 5, \( 5^2 \) chia hết cho 5, \( 5^3 \) chia hết cho 5, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( S \equiv 0+0+0+\ldots+0 \equiv 0 \) (mod 5).

Do đó, A chia hết cho 5.

Để chứng minh A không chia hết cho 25, ta xét tổng T = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{100} \) (mod 25).

Ta thấy rằng \( 5 \) không chia hết cho 25, \( 5^2 \) không chia hết cho 25, \( 5^3 \) không chia hết cho 25, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{100} \).

Vì vậy, ta có: \( T \equiv 5+0+0+\ldots+0 \equiv 5 \) (mod 25).

Do đó, A không chia hết cho 25.

b) Ta có:

\( B = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \)

Để chứng minh B chia hết cho 6, ta xét tổng U = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{20} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{20} \).

Vì vậy, ta có: \( U \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 5 \) (mod 6).

Do đó, B chia hết cho 6.

c) Ta có:

\( C = 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \)

Để chứng minh C không chia hết cho 6, ta xét tổng V = \( 5+5^2+5^3+\ldots+5^{2022}+5^{2023} \) (mod 6).

Ta thấy rằng \( 5 \) chia hết cho 6, \( 5^2 \) không chia hết cho 6, \( 5^3 \) không chia hết cho 6, \( 5^4 \) chia hết cho 6, và tiếp tục như vậy cho tới \( 5^{2022} \) và \( 5^{2023} \).

Vì vậy, ta có: \( V \equiv 5+1+1+\ldots+1 \equiv 2 \) (mod 6).

Do đó, C không chia hết cho 6.

d) Ta có:

\( D = 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \)

Để chứng minh D chia hết cho 7, ta xét tổng W = \( 1+2+2^2+2^3+\ldots+2^{2021} \) (mod 7).

Ta thấy rằng \( 2 \) không chia hết cho 7, \( 2^2 \) chia hết cho 7, \( 2^3 \) không chia hết cho 7, \( 2^4 \) không chia hết cho 7, \( 2^5 \) không chia hết cho 7, \( 2^6 \) chia hết cho 7, và tiếp tục

mong mn cho minh vai xu :)))))))))))))))))))))))))))))))))

bạn Tiến Dũng Trương lm sai r

a, A = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

    A = 5. ( 1 + 5 + ...+ 5⁹⁹)

    5 ⋮ 5 ⇒A =  5.(1 + 5 + ...+ 5⁹⁹) ⋮ 5 (1) 

A  = 5 + 5² + 5³ + ... + 5¹⁰⁰

A  = 5 + 5².( 1 + 5 + 5² + ... + 5⁹⁸)

A = 5 + 25 . ( 1 + 5 + 5² +...+ 5⁹⁸)

Vì 25 ⋮ 25 nên 25.(1 + 5 + 5² +... + 5⁹⁸) ⋮ 25 

5 không chia hết cho 25 nên 

A = 5 + 25.( 1 + 5 +...+ 5⁹⁸) không chia hết cho 25 (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có:

A ⋮ 5 nhưng không chia hết cho 25 (đpcm)

tui lớp 8 ko bt làm :)

hảo hán

Đặt \(A=75\left(4^{2023}+4^{2022}+...+4^2+4+1\right)+25\)

Đặt \(B=4^{2023}+4^{2022}+...+4^2+4+1\)

=>\(4B=4^{2024}+4^{2023}+...+4^3+4^2+4\)

=>\(4B-B=4^{2024}+4^{2023}+...+4^3+4^2+4-4^{2023}-4^{2022}-...-4^2-4-1\)

=>\(3B=4^{2024}-1\)

=>\(B=\dfrac{4^{2024}-1}{3}\)

\(A=75\left(4^{2023}+4^{2022}+...+4^2+4+1\right)+25\)

\(=75\cdot\dfrac{4^{2024}-1}{3}+25\)

\(=25\cdot\left(4^{2024}-1\right)+25\)

\(=25\cdot4^{2024}\)

\(=25\cdot4\cdot4^{2023}=100\cdot4^{2023}⋮100\)

\(\begin{array}{l}a)M = {32^{2023}} - {32^{2021}}\\M = {32^{2021}}\left( {{{32}^2} - 1} \right)\\M = {32^{2021}}.1023\end{array}\)

Vì \(1023 \vdots 31\) nên \(M = \left( {{{32}^{2021}}.1023} \right) \vdots 31\)

Vậy M chia hết cho 31.

\(\begin{array}{l}b)N = {7^6} + {2.7^3} + {8^{2022}} + 1\\N = {\left( {{7^3}} \right)^2} + {2.7^3} + 1 + {8^{2022}}\\N = {\left( {{7^3} + 1} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {\left( {344} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {\left( {8.43} \right)^2} + {8^{2022}}\\N = {8^2}\left( {{{43}^2} + {8^{2020}}} \right)\end{array}\)

Vì \({8^2} \vdots 8\) suy ra \(N = {8^2}\left( {{{43}^2} + {8^{2020}}} \right) \vdots 8\)

Vậy N chia hết cho 8