\(\left\{{}\begin{matrix}5x=5m\\y=2x-m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m\\y=10-m+1=11-m\end{matrix}\right.\)

Thay vào ta đc 

\(2m^2-3\left(11-m\right)=2\Leftrightarrow2m^2-33+3m=2\Leftrightarrow2m^2+3m-35=0\Leftrightarrow m=\dfrac{7}{2};m=-5\)

Lời giải:

Lấy PT(1) + 3PT(2) ta được:
$mx-3y+3x+3y=7$

$\Leftrightarrow x(m+3)=7(*)$

Để hpt có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thì pt $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất.

Điều này xảy ra khi $m+3\neq 0\Leftrightarrow m\neq -3$
Khi đó:

$x=\frac{7}{m+3}$

$x=1-y=1-\frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

Áp dụng BĐT Cô-si ta thấy:

$x^2+y^2\geq \frac{1}{2}(x+y)^2=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow x^2+y^2$ đạt min bằng $\frac{1}{2}$. Giá trị này đạt tại $x=y$

$\Leftrightarrow \frac{7}{m+3}=\frac{m-4}{m+3}$

$\Leftrihgtarrow 7=m-4$

$\Leftrightarrow m=11$ 

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:

\(t^2-3m.t+m=0\) (1) 

Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)

\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)

TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)

\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)

2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)

Ko tồn tại m thỏa mãn

Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{2m}\ne\dfrac{1}{3}\)

=>\(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{1}{3}\)(luôn đúng)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=5\\2mx+3y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2mx+2y=10\\2mx+3y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=4\\mx+y=5\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\mx=5-y=5-\left(-4\right)=9\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-4\\x=\dfrac{9}{m}\end{matrix}\right.\)

\(\left(2m-1\right)\cdot x+\left(m+1\right)\cdot y=m\)

=>\(\dfrac{9}{m}\left(2m-1\right)+\left(m+1\right)\cdot\left(-4\right)=m\)

=>\(\dfrac{9\left(2m-1\right)}{m}=m+4m+4=5m+4\)

=>m(5m+4)=18m-9

=>\(5m^2-14m+9=0\)

=>(m-1)(5m-9)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{9}{5}\end{matrix}\right.\)

=>y=(m+1)x-m-1 và x+(m^2-1)x-m^2+1=2

=>x=2-1+m^2/m^2 và y=(m+1)x-m-1

=>x=(m^2+1)/m^2 và y=(m^3+m^2+m+1-m^3-m^2)/m^2=(m+1)/m^2

x+y=(m^2+m+2)/m^2

Để x+y min thì m^2+m+2 min

=>m^2+m+1/4+7/4 min

=>(m+1/2)^2+7/4min

=>m=-1/2

Hệ có nghiệm duy nhất khi: \(\dfrac{3}{1}\ne\dfrac{m}{-2}\Rightarrow m\ne-6\)

Khi đó ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+my=5\\x-2y=3\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6x+2my=10\\mx-2my=3m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+6\right)x=3m+10\\y=\dfrac{x-3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m+10}{m+6}\\y=\dfrac{x-3}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3m+10}{m+6}\\y=\dfrac{-4}{m+6}\end{matrix}\right.\)

\(2x+y=1\Rightarrow\dfrac{2\left(3m+10\right)}{m+6}+\dfrac{-4}{m+6}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6m+16}{m+6}=1\)

\(\Rightarrow6m+16=m+6\)

\(\Rightarrow m=-2\)

a: Vì \(\dfrac{1}{2}\ne\dfrac{-2}{1}=-2\)

nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

b: \(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=4-m\\2x+y=8m+3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x-2y=4-m\\4x+2y=16m+6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x+4x=4-m+16m+6=15m+10\\2x+y=8m+3\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}5x=15m+10\\y=8m+3-2x\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=3m+2\\y=8m+3-6m-4=2m-1\end{matrix}\right.\)

Đặt \(A=x^2+y^2\)

\(=\left(3m+2\right)^2+\left(2m-1\right)^2\)

\(=9m^2+12m+4+4m^2-4m+1\)

\(=13m^2+8m+5\)

\(=13\left(m^2+\dfrac{8}{13}m+\dfrac{5}{13}\right)\)

\(=13\left(m^2+2\cdot m\cdot\dfrac{4}{13}+\dfrac{16}{169}+\dfrac{49}{169}\right)\)

\(=13\left(m+\dfrac{4}{13}\right)^2+\dfrac{49}{13}>=\dfrac{49}{13}\forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi \(m+\dfrac{4}{13}=0\)

=>\(m=-\dfrac{4}{13}\)

mình giải tắt nhé vì mình không giỏi dùng công thức. Thông cảm nha.

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2m+3\\x+y=3m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m}{4}+1\\y=\dfrac{-5m}{4}\end{matrix}\right.\)

vậy phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(\dfrac{m}{4}+1;\dfrac{-5m}{4}\right)\)

Thay vào đẳng thức ta được:

\(\left(\dfrac{m}{4}+1\right)^2+\left(\dfrac{-5m}{4}\right)^2=5\\ \Leftrightarrow x=\)