Chứng minh: \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n},\forall n\ge1\)

Chứng minh với \(\forall\)n \(\in\)N có

\(\dfrac{1}{2\sqrt{2}+1}+\dfrac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< 1-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\)

a, chứng minh công thức :

\(\forall n\ge1\) ta có : \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n}+1\right)}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Với số tự nhiên n, \(n\ge3\). Đặt \(S_n=\dfrac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\dfrac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\dfrac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\). Chứng minh: \(S_n< \dfrac{1}{2}\)

1) Chứng minh: \(2\sqrt{n}-3< \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\forall n\ge2\)

2) Thu gọn: \(A=5\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\)

Chứng minh:

a)\(\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\sqrt[4]{ab}\forall a,b>0\)

b)\(\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\forall a,b>0\)

c) Với a>b>0 và m>n (m,n \(\in\)N) chứng minh:

\(\frac{a^m-b^m}{a^m+b^m}>\frac{a^n-b^n}{a^n+b^n}\)

Với số tự nhiên n , \(n\ge3\)

Đặt  \(S_n=\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\) 

Chứng minh rằng \(S_n< \frac{1}{2}\)

\(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n},\forall n\ge1\)

Cho dãy \(\left(u_n\right)\)xác định: \(\hept{\begin{cases}u_1=3\\u_{n+1}=\frac{1}{2}u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\forall n\ge1\end{cases}}\)

a) Với a=0, bằng quy nạp hãy chứng minh \(0< u_{n+1}< u_n,\forall n\ge1\)

b) Với a=1, bằng quy nạp hãy chứng minh \(1-\frac{2}{n}< u_n,\forall n\ge2\)