Chứng minh: \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n},\forall n\ge1\)

\(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n},\forall n\ge1\)

Chứng minh: \(2\sqrt{n}-3< \dfrac{1}{\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\) với mọi \(n\ge2\)

\(\sqrt{x-3}+2x=3\sqrt{x-5}+4\)

cảm nhận của em về câu thơ:

"Con dù lớn vẫn là con của mẹ

Đi hết đời lòn mẹ vẫn theo con"

vì sao phải có sự hợp tác giữa các nước?

cho hpt:\(\left\{{}\begin{matrix}9x^2-18xy+8y^2+4x-4y=0\\9x^2-12xy+4y^2-30x+28y=0\end{matrix}\right.\)

a) viết phương trình (1) của hệ thành một phương trình bậc 2 theo ẩn x, sau đó tính x theo y.

b) tìm nghiệm của hệ phương trình.

c) chứng minh rằng nghiệm của hệ phương trình cũng là nghiệm của phương trình \(xy-12x+10y=0\)

giải hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2\\\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4\end{matrix}\right.\)

cho (d):y=m(x-1)+2

a) chứng minh rằng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi giá trị của m. Hãy tìm tọa độ của điểm đó.

b) Tìm m để khoảng cách từ O đến đường thẳng (d) lớn nhất.

a) \(\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{3+\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{2}.\sqrt{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}.\left(3+\sqrt{3}\right)}=\dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}}}{\sqrt{6}.\left(\sqrt{3}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{6}.\left(\sqrt{3}+1\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{6}}.\)b) Đặt \(\sqrt{4-\sqrt{15}}+\sqrt{4+\sqrt{15}}-2\sqrt{3-\sqrt{5}}=A\)

Ta có:

\(\sqrt{2}A=\sqrt{8-\sqrt{15}}+\sqrt{8+\sqrt{15}}-2\sqrt{6-2\sqrt{5}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}A=\left(\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3}}\right)^2+\left(\sqrt{\sqrt{5}+\sqrt{3}}\right)^2-2\left(\sqrt{\sqrt{5}-1}\right)^2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}A=\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{5}+\sqrt{3}-2\sqrt{5}-2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}A=-2\)

\(\Rightarrow A=-\sqrt{2}\)