Câu hỏi của Lệ Nguyễn Thị Mỹ - Toán lớp 9

Lời giải:

Với 2 số $a,b$ dương, ta luôn có BĐT quen thuộc sau:

\(a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

Cách chứng minh rất đơn giản, biến đổi tương đương ta có:

\(a^3+b^3-ab(a+b)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow a^2(a-b)-b^2(a-b)\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2(a+b)\geq 0\) (luôn đúng với mọi $a,b>0$)

---------------------------------------

Áp dụng vào bài toán:

\((n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}=(\sqrt{n})^3+(\sqrt{n+1})^3\geq \sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\)

\(\Rightarrow \frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Do đó:

\(\frac{1}{2\sqrt{2}+1}< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{1}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}< \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}\)

......

\(\frac{1}{(n+1)\sqrt{n+1}+n\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow \text{VT}< 1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)

Ta có đpcm.