1: Thay x=0 và y=4 vào (d), ta được:

\(0\left(m^2+1\right)+m+2=4\)

=>m+2=4

=>m=2

2: tọa độ A là:

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\x\left(m^2+1\right)+m+2=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-m-2}{m^2+1}\\y=0\end{matrix}\right.\)

Tọa độ B là: \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\left(m^2+1\right)+m+2=m+2\end{matrix}\right.\)

vậy: O(0;0); \(A\left(\dfrac{-m-2}{m^2+1};0\right);B\left(0;m+2\right)\)

\(OA=\sqrt{\left(\dfrac{-m-2}{m^2+1}-0\right)^2+\left(0-0\right)^2}=\sqrt{\dfrac{\left(m+2\right)}{m^2+1}}^2=\dfrac{\left|m+2\right|}{m^2+1}\)

\(OB=\sqrt{\left(0-0\right)^2+\left(m+2-0\right)^2}=\sqrt{0^2+\left(m+2\right)^2}=\left|m+2\right|\)

Vì Ox\(\perp\)Oy nên ΔOAB vuông tại O

=>\(S_{OAB}=\dfrac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(m+2\right)^2}{m^2+1}\)

Để \(S_{OBA}=\dfrac{1}{2}\) thì \(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\left(m+2\right)^2}{m^2+1}=\dfrac{1}{2}\)

=>\(\dfrac{\left(m+2\right)^2}{m^2+1}=1\)

=>\(\left(m+2\right)^2=m^2+1\)

=>\(m^2+4m+4=m^2+1\)

=>4m+4=1

=>4m=-3

=>\(m=-\dfrac{3}{4}\)

Tọa độ A là;

\(\left\{{}\begin{matrix}y=0\\\left(m+1\right)x+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{-3}{m+1}\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow OA=\dfrac{3}{\left|m+1\right|}\)

Tọa độ B là:

x=0 và y=(m+1)*0+3=3

=>OB=3

S_OAB=9

=>1/2*OA*OB=9

=>1/2*9/|m+1|=9

=>1/2*1/|m+1|=1

=>1/|m+1|=2

=>|m+1|=1/2

=>m+1=1/2 hoặc m+1=-1/2

=>m=-1/2 hoặc m=-3/2

Gợi ý :

a) y = 2 => x = 2 hoặc -2 ( do có thể < 0 hay > 0 )

b) S(OAB) = 1 => |x| = 1 => x = 1 hoặc -1

c) Gọi khoảng cách từ O tới (d) là OH

OH bé hơn hoặc bằng khoảng cách 2 của O tới điểm cố định trên Oy

=> max = 2 khi d song^2 Ox => x = 0 => đúng mọi m

d)  Thay vào biểu thức hệ thức lượng => khoảng cách từ O tới điểm mà d cắt trên Ox là 0 => d trùng Oy

e) thay x vào có kết quả

f) cắt tại điểm > 2 => biểu thức biểu diễn x > 2 ( -2/(m+3)   )

Để ĐTHS cắt cả 2 trục tọa độ \(\Rightarrow m\ne0\)

Khi đó ta có: giao điểm với trục hoành: \(mx+2=0\Rightarrow x=-\dfrac{2}{m}\)

Giao điểm với trục tung: \(y=m.0+2=2\)

a. \(A\left(-\dfrac{2}{m};0\right)\Rightarrow OA=\left|x_A\right|=\left|\dfrac{2}{m}\right|\)

\(B\left(0;2\right)\Rightarrow OB=\left|y_B\right|=2\)

\(OA=OB\Rightarrow\left|\dfrac{2}{m}\right|=2\Rightarrow m=\pm1\)

b. \(C\left(-\dfrac{2}{m};0\right);D\left(0;2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OC=\left|\dfrac{2}{m}\right|\\OD=2\end{matrix}\right.\)

\(tanC=\dfrac{OD}{OC}=\left|m\right|=2\Rightarrow m=\pm2\)

Đề là \(m\ne-\dfrac{1}{2}\) chứ.

\(x=0\Rightarrow y=-2\Rightarrow OB=2\)

\(y=0\Rightarrow x=\dfrac{2}{2m+1}\Rightarrow OA=\left|\dfrac{2}{2m+1}\right|\)

\(S_{\Delta OAB}=\dfrac{1}{2}.2.\left|\dfrac{2}{2m+1}\right|=\left|\dfrac{2}{2m+1}\right|=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left|2m+1\right|=4\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1=4\\2m+1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\\m=-\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài: \(\left\{{}\begin{matrix}A\in Ox\\B\in Oy\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(x_A;0\right)\\B\left(0;y_B\right)\end{matrix}\right.\).

Thay vào phương trình đường thẳng \(\left(d\right)\) ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}0=\left(2m+1\right)x_A-2\\y_B=\left(2m+1\right)\cdot0-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_A=\dfrac{2}{2m+1}\\y_B=-2\end{matrix}\right.\).

Do đó: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=\left|x_A\right|=\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\\OB=\left|y_B\right|=\left|-2\right|=2\end{matrix}\right.\)

\(\Delta OAB\left(\hat{O}=90^o\right)\) có: \(S=\dfrac{1}{2}OA\cdot OB=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow OA\cdot OB=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\left|2m+1\right|}\cdot2=1\Leftrightarrow\left|2m+1\right|=4\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2m+1=4\\2m+1=-4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{2}\left(TM\right)\\m=-\dfrac{5}{2}\left(TM\right)\end{matrix}\right.\).