\(x^3+y^3-9xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3x^2y-3xy^2-9xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3+27-3xy\left(x+y+3\right)=27\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left[\left(x+y\right)^2-3\left(x+y\right)+9\right]-3xy\left(x+y+3\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x^2+2xy+y^2-3x-3y+9-3xy\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(x^2-xy+y^2-3x-3y+9\right)-27=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left(2x^2-2xy+2y^2-6x-6y+18\right)-54=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+3\right)\left[\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2\right]=54\)

Do x, y > 0 => x + y + 3 > 3

Mà x, y nguyên dương => \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3\in Z^+\\\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2\in Z^+\end{matrix}\right.\)

Và \(\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2⋮2\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=9\\\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2=6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\x^2-xy+y^2-3x-3y=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(6-x\right)+\left(6-x\right)^2-3x-3\left(6-x\right)=-6\)

\(\Leftrightarrow x^2-6x+8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\Leftrightarrow y=2\left(tm\right)\\x=2\left(tm\right)\Leftrightarrow y=4\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+3=27\\\left(x-y\right)^2+\left(x-3\right)^2+\left(y-3\right)^2=2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=24\\x^2-xy+y^2-3x-3y=-8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(24-x\right)+\left(24-x\right)^2-3x-3\left(24-x\right)=-8\)

\(\Leftrightarrow3x^2-72x+512=0\) (vô nghiệm)

KL: Vậy phương trình có tập nghiệm (x;y) = [(2;4);(4;2)]

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)

Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)

Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)

Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương

Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)

\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương

\(B=3+3^2+3^3+...+3^{60}\)

\(=3\left(1+3+3^2\right)+...+3^{58}\left(1+3+3^2\right)\)

\(=13\left(3+...+3^{58}\right)⋮13\)

Số số hạng của B:

60 - 1 + 1 = 60 (số)

Do 60 ⋮ 3 nên ta có thể nhóm các số hạng của B thành từng nhóm mà mỗi nhóm có 3 số hạng như sau:

B = (3 + 3² + 3³) + (3⁴ + 3⁵ + 3⁶) + ... + (3⁵⁸ + 3⁵⁹ + 3⁶⁰)

= 3.(1 + 3 + 3²) + 3⁴.(1 + 3 + 3²) + ... + 3⁵⁸.(1 + 3 + 3²)

= 3.13 + 3⁴.13 + ... + 3⁵⁸.13

= 13.(3 + 3⁴ + ... + 3⁵⁸) ⋮ 13

Vậy B ⋮ 13

Câu 1:

Ta có: \(2a^2+a=3b^2+b\Rightarrow2a^2+a-3b^2-b=0\Rightarrow3\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=a^2\)

\(\Rightarrow3\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=a^2\Rightarrow\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)=a^2\)

Gọi \(ƯCLN\)\(\left(a-b;3a+3b+1\right)=d\)

=> \(a-b⋮d;3a+3b+1⋮d\Rightarrow\left(a-b\right)\left(3a+3b+1\right)⋮d^2\Rightarrow a^2⋮d^2\Rightarrow a⋮d\Rightarrow6a⋮d\left(1\right)\)

Mà ta lại có: \(3\left(a-b\right)+\left(3a+3b+1\right)⋮d\Rightarrow6a +1⋮d\left(2\right)\)

Từ 1 và 2 => \(d=1\) => \(a-b\) và \(3a+3b+1\) là 2 số nguyên tố cùng nhau.

Và đồng thời \(3a+3b+1>a-b\Rightarrow\begin{cases}3a+3b+1=a^2\\a-b=1^2\end{cases}\)

Vậy \(3a+3b+1\) và \(a-b\) đều là các số chính phương.

Câu 2:

Ta có: \(6x+5y+18=2xy\Rightarrow5y+18=2xy-6x=2x\left(y-3\right)\Rightarrow2x=\frac{5y+18}{y-3}=\frac{5\left(y-3\right)+33}{y-3}=5+\frac{33}{y-3}\)

Do \(x;y\in Z\Rightarrow\)\(\frac{33}{y-3}\in Z\Rightarrow33⋮y-3\Rightarrow y-3\inƯ\left(33\right)=\left\{\pm1;\pm3;\pm11;\pm33\right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(19;4\right);\left(-14;2\right);\left(8;6\right);\left(-3;0\right);\left(4;14\right);\left(1;-9\right);\left(3;36\right);\left(2;-30\right)\)

Bạn nên ấn cái này để dễ nhìn hơn

câu 1 :

84=2^2.3.7

108=2^2.3^3

=>BCNN(84;108)=2^2.3^3.7=756

=>BC(84;108)=B(756)={0;756;1512;....}

câu 2:

a/7 chia hết cho x+1

=>x+1 thuộc Ư(7)={1;7}

=>x thuộc {0;6}

b/x.y=56 và x<y

ta có 56=1.56=2.28=4.14=7.8

vì x<y 

nên x=1 thì y=56

x=2 thì y=28

x=4 thì y=14

x=7 thì y=8

c/ 2x+2 chia hết cho x+2

=>2(x+2)-2 chia hết cho x+2

=>x+2 thuộc Ư(2)={1;2}

=>x thuộc {-1;0}

vì x E N nên x=0

câu 3 :

a, A=2.4.6.8.10+18=2.4.6.8.10+2.9=2(4.6.8.10+9) chia hết cho 2

A=2.4.6.8.10+18=2.4.3.2.8.10+3.6=3(2.4.2.8.10+6) chia hết cho 3

A ko chia hết cho 9 vì 2.4.6.8.10 ko chia hết cho 9

b,

A là hợp số vì A chia hết cho 2 và 3 ...

c.A ko là số chính phương vì 18 ko là số chính phương

câu 4 chờ chút đã

Mình không biết nha tạm thời bạn hỏi bạn khác đi 😅