1: Xét tứ giác BFEC có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^0\)

Do đó: BFEC là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác AEDB có

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^0\)

Do đó: AEDB là tứ giác nội tiếp

2: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có 

\(\widehat{EAB}\) chung

Do đó: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC

Suy ra: AE/AF=AB/AC

hay \(AE\cdot AC=AB\cdot AF\)

a) Xét tứ giác AEHF có 

\(\widehat{HFA}\) và \(\widehat{HEA}\) là hai góc đối

\(\widehat{HFA}+\widehat{HEA}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: AEHF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

a) Xét tứ giác BCEF có 

\(\widehat{BFC}=\widehat{BEC}\left(=90^0\right)\)

nên BCEF là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCEF là trung điểm của BC

bạn tham khảo ở đây nha,bài này mình từng làm rồi

https://hoc24.vn/cau-hoi/881cho-tam-giac-abc-nhon-noi-tiep-duong-tron-o-cac-duong-cao-adbecf-cat-nhau-tai-ha-chung-minh-tu-giac-bcef-noi-tiep-va-xac-dinh-tam-i-cua-duong-tron-ngoai-tiep-tu-giacb-duong-thang-ef-cat-duon.1092906662181

Sửa đề: Hai đường cao BN,CK

a: góc AKH+góc ANH=180 độ

=>AKHN nội tiếp

Tâm là trung điểm của AH

b: Xet ΔANB vuông tại N và ΔAKC vuông tại K có

góc A chung

=>ΔANB đồng dạng với ΔAKC

=>NB/KC=AN/AK

=>NB*AK=AN*KC

c: góc BKC=góc BNC=90 độ

=>BKNC nội tiếp

d: Xét ΔACB co

BN,CK là đường cao

BN cắt CK tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc CB

a) Ta có: \(\angle AFH+\angle AEH=90+90=180\Rightarrow AEHF\) nội tiếp

Gọi D là trung điểm AH

Vì \(\Delta AEH\) vuông tại E có D là trung điểm AH \(\Rightarrow DE=DA=DH\)

Tương tự \(\Rightarrow DF=DA=DH\Rightarrow DE=DF=DA=DH\)

\(\Rightarrow D\) là tâm (AEHF)

Tương tự,ta chứng minh BCEF nội tiếp đường tròn có tâm là BC

b) Xét \(\Delta MFB\) và \(\Delta MCE:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle EMCchung\\\angle MFB=\angle MCE\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MFB\sim\Delta MCE\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MF}{MC}=\dfrac{MB}{ME}\Rightarrow ME.MF=MB.MC\)

Xét \(\Delta MNB\) và \(\Delta MCA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AMCchung\\\angle MNB=\angle MCA\end{matrix}\right.\)​​

​\(\Rightarrow\Delta MNB\sim\Delta MCA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MN}{MC}=\dfrac{MB}{MA}\Rightarrow MN.MA=MB.MC\)​

\(\Rightarrow MN.MA=ME.MF\Rightarrow\dfrac{MN}{ME}=\dfrac{MF}{MA}\)

Xét \(\Delta MNF\) và \(\Delta MEA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle AMEchung\\\dfrac{MN}{ME}=\dfrac{MF}{MA}\end{matrix}\right.\)​​

\(\Rightarrow\Delta MNF\sim\Delta MEA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle MNF=\angle MEA\Rightarrow ANFE\) nội tiếp

c) ANFE nội tiếp mà AEHF nội tiếp \(\Rightarrow A,E,H,F,N\) cùng thuộc 1 đường tròn

\(\Rightarrow\angle ANH=\angle AFH=90\Rightarrow NH\bot AN\)

Vì AK là đường kính \(\Rightarrow\angle ANK=90\Rightarrow NK\bot AN\)

\(\Rightarrow N,H,K\) thẳng hàng