Ta có: 3n+16 = 3n+3.4+4

                      = 3.(n+4)+4

Vì n+4 chia hết cho n+4 => 3.(n+4) cũng chia hết cho n+4

=> 4 chia hết cho n+4 hay n+4 là Ư(4)={1;2;4}

Ta có bảng sau:

n+4                 n

1                     -3

2                      -2

4                      0

Mà n là số tự nhiên nên n=0 ( thỏa mãn)

Vậy n = 0

_HT_

You what

Bài 10:

a: 2x-3 là bội của x+1

=>\(2x-3⋮x+1\)

=>\(2x+2-5⋮x+1\)

=>\(-5⋮x+1\)

=>\(x+1\in\left\{1;-1;5;-5\right\}\)

=>\(x\in\left\{0;-2;4;-6\right\}\)

b: x-2 là ước của 3x-2

=>\(3x-2⋮x-2\)

=>\(3x-6+4⋮x-2\)

=>\(4⋮x-2\)

=>\(x-2\inƯ\left(4\right)\)

=>\(x-2\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\)

=>\(x\in\left\{3;1;4;0;6;-2\right\}\)

Bài 14:

a: \(4n-5⋮2n-1\)

=>\(4n-2-3⋮2n-1\)

=>\(-3⋮2n-1\)

=>\(2n-1\inƯ\left(-3\right)\)

=>\(2n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(2n\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)

=>\(n\in\left\{1;0;2;-1\right\}\)

mà n>=0

nên \(n\in\left\{1;0;2\right\}\)

b: \(n^2+3n+1⋮n+1\)

=>\(n^2+n+2n+2-1⋮n+1\)

=>\(n\left(n+1\right)+2\left(n+1\right)-1⋮n+1\)

=>\(-1⋮n+1\)

=>\(n+1\in\left\{1;-1\right\}\)

=>\(n\in\left\{0;-2\right\}\)

mà n là số tự nhiên

nên n=0

Bài 16:

a: \(\left(x+5\right)\left(y-3\right)=15\)

=>\(\left(x+5\right)\left(y-3\right)=1\cdot15=15\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-15\right)=\left(-15\right)\cdot\left(-1\right)=3\cdot5=5\cdot3=\left(-3\right)\cdot\left(-5\right)=\left(-5\right)\cdot\left(-3\right)\)

=>\(\left(x+5;y-3\right)\in\left\{\left(1;15\right);\left(15;1\right);\left(-1;-15\right);\left(-15;-1\right);\left(3;5\right);\left(5;3\right);\left(-3;-5\right);\left(-5;-3\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(-4;18\right);\left(10;4\right);\left(-6;-12\right);\left(-20;2\right);\left(-2;8\right);\left(0;6\right);\left(-8;-2\right);\left(-10;0\right)\right\}\)

mà (x,y) là cặp số tự nhiên

nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(10;4\right);\left(0;6\right)\right\}\)

b: x là số tự nhiên

=>2x-1 lẻ và 2x-1>=-1

\(\left(2x-1\right)\left(y+2\right)=24\)

mà 2x-1>=-1 và 2x-1 lẻ

nên \(\left(2x-1\right)\cdot\left(y+2\right)=\left(-1\right)\cdot\left(-24\right)=1\cdot24=3\cdot8\)

=>\(\left(2x-1;y+2\right)\in\left\{\left(-1;-24\right);\left(1;24\right);\left(3;8\right)\right\}\)

=>\(\left(2x;y\right)\in\left\{\left(0;-26\right);\left(2;22\right);\left(4;6\right)\right\}\)

=>\(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;-26\right);\left(1;11\right);\left(2;6\right)\right\}\)

mà (x,y) là cặp số tự nhiên

nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(1;11\right);\left(2;6\right)\right\}\)

c:

x,y là các số tự nhiên

=>x+3>=3 và y+2>=2

xy+2x+3y=0

=>\(xy+2x+3y+6=6\)

=>\(x\left(y+2\right)+3\left(y+2\right)=6\)

=>\(\left(x+3\right)\left(y+2\right)=6\)

mà x+3>=3 và y+2>=2

nên \(\left(x+3\right)\cdot\left(y+2\right)=3\cdot2\)

=>x=0 và y=0

d: xy+x+y=30

=>\(xy+x+y+1=31\)

=>\(x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=31\)

=>\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=31\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\cdot\left(y+1\right)=1\cdot31=31\cdot1=\left(-1\right)\cdot\left(-31\right)=\left(-31\right)\cdot\left(-1\right)\)

=>\(\left(x+1;y+1\right)\in\left\{\left(1;31\right);\left(31;1\right);\left(-1;-31\right);\left(-31;-1\right)\right\}\)

=>\(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;30\right);\left(30;0\right);\left(-2;-32\right);\left(-32;-2\right)\right\}\)

mà (x,y) là cặp số tự nhiên

nên \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;30\right);\left(30;0\right)\right\}\)

Theo bài ra ta có :     \(\frac{3n+7}{n+1}=\frac{3n+3}{n+1}+\frac{4}{n+1}=3+\frac{4}{n+1}\)

3n+7 thuộc B_(n+1)<=>\(\frac{3n+7}{n+1}\)là số tự nhiên<=>\(\frac{4}{n+1}\)là số tự nhiên<=>n+1 thuộc Ư(4)={-4;-2;-1;1;2;4}

      Tiếp thì bn tự thay n+1 vào là ra

3n +7 là bội của n+1

suy ra 3n+7 chia hết cho n+1

suy ra 3(n+1)+4 chia hết cho n+1

suy ra 4 chia hết cho n+1

suy ra n+1 thuộc Ư(10)=(1,2,4)

suy ra n thuộc (0,1,3)

Vì \(3n+7\) là bội chung của \(n+1\) 

\(\Rightarrow\) \(3n+7⋮n+1\) 

\(\Rightarrow\) \(3\left(n+1\right)+4⋮n+1\)  

Vì \(3n+1⋮n+1\) 

Vậy để \(3\left(n+1\right)+4⋮n+1\)

\(\Rightarrow\)\(4⋮n+1\)

\(\Rightarrow n+1\in B\left(4\right)\)

\(B\left(4\right)=\left(\pm1,\pm2,\pm4\right)\)

Vì là số tự nhiên nên chỉ có 1 , 2 ,4

 Thử chọn

\(n+1=1\Rightarrow n=0\)

\(n+1=2\Rightarrow n=1\)   

\(n+1=4\Rightarrow n=3\)

Vậy \(n\in\left(0,1,3\right)\)

3n+13 là bội của n-3 <=> 3n-9+22 là bội của n-3 <=> 3(n-3)+22 là bội của n-3 

mà 3(n-3) là bội của n-3 <=> 22 là bội của n-3 <=> n-3\(\inƯ\left(22\right)=\left\{-22;-11;-2;-1;1;2;11;22\right\}\)

<=>\(n\in\left\{-19;-8;1;2;4;5;14;25\right\}\)

Vì n là số tự nhiên nên \(n\in\left\{1;2;4;5;14;25\right\}\)

\(\left(3n+14\right)⋮\left(n+2\right)\\ \Rightarrow\left[\left(3n+6\right)+8\right]⋮\left(n+2\right)\\ \Rightarrow\left[3\left(n+2\right)+8\right]⋮\left(n+2\right)\)

Vì \(3\left(n+2\right)⋮\left(n+2\right)\Rightarrow8⋮\left(n+2\right)\Rightarrow n+2\in8=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\Rightarrow n\in\left\{-10;-6;-4;-3;-1;0;2;6\right\}\)

3n+4=3.(n+2)+2

để 3.(n+2)+2 chia hết cho n+2

=> 2 chia hết cho n+2 

mà n là số tự nhiên

=> n=0

3n + 14 chia hết cho n + 2

⇒ 3n + 6 + 8 chia hết cho n + 2

⇒ 3(n + 2) + 8 chia hết chi n + 2

⇒ 8 chia hết cho n + 2

⇒ n + 2 ∈ Ư(8) = {1; -1; 2; -2; 4; -4; 8; -8}

⇒ n ∈ {-1; -3; 0; -4; 2; -6; 6; -10}

Mà n là số tự nhiên

⇒ n ∈ {0; 2; 6} 

\(\left(3n+14\right)=3\left(n+2\right)+8\)

Để \(\left(3n+14\right)⋮\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+2\right)\inƯ\left(8\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+2\right)\in\left\{-1;1;-2;2;-4;4;-8;8\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-3;-1;-4;0;-6;2;-10;6\right\}\)

Ta có :

3n+5 là bội của 2n-1

\(\Rightarrow\)3n+5\(⋮\)2n+1

\(\Rightarrow\)2(3n+5)\(⋮\)2n+1

\(\Rightarrow\)6n+10\(⋮\)2n+1

\(\Rightarrow\)6n+3-13\(⋮\)2n+1

\(\Rightarrow\)3(2n+1)-13\(⋮\)2n+1

Vì 3(2n+1)\(⋮\)2n+1

\(\Rightarrow\)13\(⋮\)2n+1

\(\Rightarrow\)2n+1\(\in\)Ư(13)

Vậy n\(\in\){1; 0; 7; -6)