Chóa đèn có hình dạng parabol nên phương trình mô phỏng chóa đèn có dạng \({y^2} = 2px\)

Gắn hệ tọa độ Oxy vào chóa đèn với gốc tọa độ tại đỉnh chóa đèn, suy ta phương trình đó đi qua điểm có tọa độ (3; 9)

Thay tọa độ điểm (3; 9) vào phương trình \({y^2} = 2px\), ta có \({9^2} = 2p.3 \Rightarrow p = \frac{{27}}{2}\)

Suy ra phương trình mô tả chóa đèn là \({y^2} = 27x\) với \(x \le 3\)

Hình ảnh mô phỏng chóa đèn có dạng như hình dưới:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(x^2+2x-m+1=x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2+x-m=0\left(1\right)\)

\(\left(d\right),\left(P\right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt 

\(\Leftrightarrow\Delta=4m+1>0\Leftrightarrow m>-\dfrac{1}{4}\)

Phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt \(x=\dfrac{-1\pm\sqrt{4m+1}}{2}\)

\(x=\dfrac{-1+\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1+\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow A\left(\dfrac{-1+\sqrt{4m+1}}{2};\dfrac{1+\sqrt{4m+1}}{2}\right)\)

\(x=\dfrac{-1-\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow y=\dfrac{1-\sqrt{4m+1}}{2}\Rightarrow B\left(\dfrac{-1-\sqrt{4m+1}}{2};\dfrac{1-\sqrt{4m+1}}{2}\right)\)

\(AB=8\Leftrightarrow\sqrt{8m+2}=8\Leftrightarrow m=\dfrac{31}{4}\left(tm\right)\)

2.

a, \(AB=2\sqrt{5},BC=5\sqrt{10},CA=\sqrt{170}\)

\(AM^2=\dfrac{AB^2+AC^2}{2}-\dfrac{BC^2}{4}=\dfrac{65}{2}\Rightarrow AM=\dfrac{\sqrt{130}}{2}\)

b, \(\left\{{}\begin{matrix}x_D-4-2\left(x_D-2\right)+4\left(x_D+3\right)=0\\y_D-3-2\left(y_D-7\right)+4\left(y_D+8\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_D=-4\\y_D=-\dfrac{14}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow D\left(-4;-\dfrac{14}{3}\right)\)

c, \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AA'}=\left(x_{A'}-4;y_{A'}-3\right)\\\overrightarrow{BC}=\left(-5;-15\right)\\\overrightarrow{BA'}=\left(x_{A'}-2;y_{A'}-7\right)\end{matrix}\right.\)

\(AA'\perp BC\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AA'}.\overrightarrow{BC}=0\left(1\right)\\\overrightarrow{BA'}=k\overrightarrow{BC}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow-5\left(x_{A'}-4\right)-15\left(y_{A'}-3\right)=0\Leftrightarrow x_{A'}+3y_{A'}=13\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}-2=-5k\\y_{A'}-7=-15k\end{matrix}\right.\Leftrightarrow3x_{A'}-y_{A'}=-1\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}+3y_{A'}=13\\3x_{A'}-y_{A'}=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_{A'}=1\\y_{A'}=4\end{matrix}\right.\Rightarrow A'\left(1;4\right)\)

Chọn B.

Phương pháp: Sử dụng tích phân.

Cách giải: Chọn hệ trục tọa độ như hình sao cho mặt trước của lều là mặt (Oxy), mặt đáy lều là mặt (Oyz).

Thay x=1 vào (P), ta được:

\(y=1^2=1\)

Thay x=2 vào (P), ta được:

\(y=2^2=4\)

vậy: A(1;1); B(2;4)

Gọi H là tọa độ của hình chiếu vuông góc kẻ từ O xuống AB

O(0;0); H(x;y); A(1;1); B(2;4)

\(\overrightarrow{OH}=\left(x;y\right);\overrightarrow{AB}=\left(1;3\right)\)

Vì OH vuông góc với AB nên \(x\cdot1+y\cdot3=0\)

=>x+3y=0

Ta có: \(\overrightarrow{AH}=\left(x-1;y-1\right);\overrightarrow{AB}=\left(1;3\right)\)

mà A,H,B thẳng hàng

nên \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-1}{3}\)

=>3x-3=y-1

=>3x-y=2(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x-y=2\\x+3y=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}9x-3y=6\\x+3y=0\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}10x=6\\x+3y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\3y=-x=-\dfrac{3}{5}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{3}{5}\\y=-\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(H\left(\dfrac{3}{5};-\dfrac{1}{5}\right)\)

đơn giản vl

Đáp án C