a,Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có :

\(\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^0\)

\(\widehat{B}:chung\)

\(\Rightarrow\Delta HBA\sim\Delta ABC\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{BH}{AB}\)

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)

a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

góc ACB chung

Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB

=>CD/CA=CE/CB

=>CD/CE=CA/CB

=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB

=>EB/DA=BC/AC

mà BC/AC=AC/CH

nên EB/DA=AC/CH=BA/HA

=>BE/AD=BA/HA

=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)

\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)

b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2

nên góc AEB=45 độ

=>ΔABE vuông cân tại A

=>AM vuông góc với BE

BM*BE=BA^2

BH*BC=BA^2

Do đó: BM*BE=BH/BC

=>BM/BC=BH/BE

=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE

Ta có ∆AHD có AH = HD và AHD = 90 nên ∆AHD vuông cân tại H

=> HAD = HDA = 45

=> ADE = 90 - HDA = 45

Tứ giác ABDE nội tiếp đường tròn vì có ABE +  BDE = 180

=> ABE = ADE = 45 (1)

Mà ∆ABE lại có ABE = 90 (2)

Từ (1) và (2) => ∆ABE vuông cân tại A 

=> AB = AE

a/ Ta có AE  // AH( vì cùng vuông góc BC)

=> HD/HC = AE/AC

=> AC.HD = AE.HC (1)

Ta lại có AB = AE (2)

AH = HD (3)

Từ (1), (2), (3) => AB.HC = AC.AH

c/ Vì M là trung điểm của BE và ∆ABE vuông cân tại A nên

=> AM cũng là đường cao của BE

=> AMB = 90 (1)

Ta lại có AHB = 90 (2)

=> Tứ giác ABHM nội tiếp đường tròn (vì AMB = AHB = 90)

=> AHM = ABM = 45 (vì cùng chắn cung AM)

PS: hình thì tự vẽ nhé

Dài lắm bạn tham khảo.

a: XétΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc C chung

Do đó: ΔABC∼ΔHAC

b: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

nên \(AH^2=BH\cdot HC\)

c: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có 

góc C chung

Do đó: ΔCDE\(\sim\)ΔCAB

Suy ra: CD/CA=CE/CB

hay \(CD\cdot CB=CA\cdot CE\)

a/ Xét tam giác ABC và tam giác HAC có:

+ \(\widehat{C}chung.\)

+ \(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}=90^o.\)

\(\Rightarrow\) Tam giác ABC ∼ Tam giác HAC (g - g).

b/ Xét tam giác ABC vuông tại A; AH là đường cao:

\(AH^2=BH.HC\) (Hệ thức lượng).

c/ Xét tam giác ABC và tam giác DEC có:

+ \(\widehat{C}chung.\)

+ \(\widehat{BAC}=\widehat{EDC}=90^o.\)

\(\Rightarrow\) Tam giác ABC ∼ Tam giác DEC (g - g).

d/ Tam giác ABC ∼ Tam giác DEC (cmt).

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{EC}=\dfrac{AC}{DC}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Rightarrow\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{EC}{DC}.\)

Xét tam giác BEC và tam giác ADC có:

+ \(\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{EC}{DC}.\)

+ \(\widehat{C}chung.\)

\(\Rightarrow\) Tam giác BEC ∼ Tam giác ADC (c - g - c).

1) Xét ΔCDE vuông tại D và ΔAHB vuông tại H có 

\(\widehat{DCE}=\widehat{HAB}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
Do đó: ΔCDE\(\sim\)ΔAHB(g-g)

a: Xét ΔCDE vuông tại D và ΔCAB vuông tại A có

góc ACB chung

Do dó ΔCDE đồng dạng với ΔCAB

=>CD/CA=CE/CB

=>CD/CE=CA/CB

=>ΔCDA đồng dạng với ΔCEB

=>EB/DA=BC/AC

mà BC/AC=AC/CH

nên EB/DA=AC/CH=BA/HA

=>BE/AD=BA/HA

=>\(BE=\dfrac{AB}{AH}\cdot AD=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+HD^2}\)

\(=\dfrac{AB}{AH}\cdot\sqrt{AH^2+AH^2}=AB\sqrt{2}\)

b: Xét ΔABE vuông tại A có sin AEB=AB/BE=1/căn 2

nên góc AEB=45 độ

=>ΔABE vuông cân tại A

=>AM vuông góc với BE

BM*BE=BA^2

BH*BC=BA^2

Do đó: BM*BE=BH/BC

=>BM/BC=BH/BE

=>ΔBMH đồng dạng với ΔBCE