xét tính tăng, giảm của các dãy số sau
a) \(u_n=2n-1\)
b) \(u_n=3-2n\)
c) \(u_n=\dfrac{n+2}{n}\)
d) \(u_n=\dfrac{2}{n}\)
e) \(u_n=3^n\)
xét tính tăng, giảm của các dãy số sau
a) \(u_n=2-3n\)
b) \(u_n=\dfrac{n+1}{n}\)
c) \(u_n=\dfrac{1}{n+1}\)
d) \(u_n=2^n\)
a: \(u_{n+1}-u_n\)
\(=2-3\left(n+1\right)-2+3n\)
=-3n-3+3n
=-3<0
=>Đây là dãy giảm
b: \(u_{n+1}-u_n\)
\(=\dfrac{n+2}{n+1}-\dfrac{n+1}{n}\)
\(=\dfrac{n^2+2n-n^2-2n-1}{n\left(n+1\right)}=\dfrac{-1}{n\left(n+1\right)}< 0\)
=>Đây là dãy giảm
c: \(u_{n+1}-u_n==\dfrac{1}{n+2}-\dfrac{1}{n+1}\)
\(=\dfrac{n+1-n-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\dfrac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< 0\)
=>Đây là dãy giảm
d: \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{2^n}=2>1\)
=>Đây là dãy tăng
Xét tính bị chặn của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{1}{n}+cos\dfrac{1}{n}\)
\(b,u_n=\dfrac{3n^2+2n+1}{n^2+2}\)
Xét tính bị chặn của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết:
\(a,u_n=\dfrac{1}{n}+cos\dfrac{1}{n}\)
\(b,u_n=\dfrac{3n^2+2n+1}{n^2+2}\)
Xét tính tăng, giảm của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \({u_n} = 2n - 1\);
b) \({u_n} = - 3n + 2\);
c) \({u_n} = \frac{\left( { - 1} \right)^{n - 1}}{2^n}\)
a) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} =[2\left( {n + 1} \right) - 1] - (2n - 1) = 2\left( {n + 1} \right) - 1 - 2n + 1 = 2 > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\;\forall \;n \in {N^*}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
b) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = [- 3\left( {n + 1} \right) + 2] - (3n + 2) = - 3\left( {n + 1} \right) + 2 + 3n - 2 = - 3 < 0\;\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số giảm.
c, Ta có:
\(\begin{array}{l}{u_1} = \frac{{{{( - 1)}^{1 - 1}}}}{{{2^1}}} = \frac{1}{2} > 0\\{u_2} = \frac{{{{( - 1)}^{2 - 1}}}}{{{2^2}}} = - \frac{1}{4} < 0\\{u_3} = \frac{{{{( - 1)}^{3 - 1}}}}{{{2^3}}} = \frac{1}{8} > 0\\{u_4} = \frac{{{{( - 1)}^{4 - 1}}}}{{{2^4}}} = - \frac{1}{{16}} < 0\\...\end{array}\)
Vậy \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng không giảm.
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+2}\)
\(b,u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\left(-1\right)^n}{n+2}\)
\(b,u_n=\sqrt{n+3}-\sqrt{n}\)
Xét tính năng, giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(u_n=\dfrac{1}{n}-2\)
b) \(u_n=\dfrac{n-1}{n+1}\)
c) \(u_n=\left(-1\right)^n\left(2^n+1\right)\)
d) \(u_n=\dfrac{2n+1}{5n+2}\)
a) Xét hiệu un+1 - un = - 2 - ( - 2) = - .
Vì < nên un+1 - un = - < 0 với mọi n ε N* .
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
b) Xét hiệu un+1 - un =
=
Vậy un+1 > un với mọi n ε N* hay dãy số đã cho là dãy số tăng.
c) Các số hạng ban đầu vì có thừa số (-1)n, nên dãy số dãy số không tăng và cũng không giảm.
d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số (vì un > 0 với mọi n ε N* ) rồi so sánh với 1.
Ta có với mọi n ε N*
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm
Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính năng, giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\), biết :
a) \(u_n=10^{1-2n}\)
b) \(u_n=3^n-7\)
c) \(u_n=\dfrac{2n+1}{n^2}\)
d) \(u_n=\dfrac{3^n\sqrt{n}}{2^n}\)
a)
\(u_1=10^{1-2.1}=10^{-1};u_2=10^{1-2.2}=10^{-3}\);
\(u_3=10^{1-2.3}=10^{-5}\); \(u_4=10^{1-2.4}=10^{-7}\);
\(u_5=10^{1-2.5}=10^{-9}\).
Xét \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{1-2\left(n-1\right)}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{3-2n}}=10^{-2}=\dfrac{1}{100}\).
Suy ra: \(u_n=\dfrac{1}{100}u_{n-1}\) và dễ thấy \(\left(u_n\right)>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên \(u_n< u_{n-1},\forall n\ge2\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
b) \(u_1=3^1-7=-4\); \(u_2=3^2-7=2\); \(u_3=3^3-7=25\);
\(u_4=3^4-7=74\); \(u_5=3^5-7=236\).
\(u_n-u_{n-1}=3^n-7-\left(3^{n-1}-7\right)=3^n-3^{n-1}=2.3^{n-1}\)\(\left(n\ge2\right)\).
Với \(n\ge2\) thì \(2.3^{n-1}>0\) nên \(u_n>u_{n-1}\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.
c)
\(u_1=\dfrac{2.1+1}{1^2}=2;u_2=\dfrac{2.2+1}{2^2}=\dfrac{5}{2}\);
\(u_3=\dfrac{2.3+1}{3^2}=\dfrac{7}{9}\); \(u_4=\dfrac{2.4+1}{4^2}=\dfrac{9}{16}\); \(u_5=\dfrac{2.5+1}{5^2}=\dfrac{11}{25}\);
\(u_n=\dfrac{2n+1}{n^2}=\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\);
\(u_{n+1}=\dfrac{2}{n+1}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}\);
Vì\(n+1>n\) nên suy ra:
\(\dfrac{2}{n+1}< \dfrac{2}{n}\)
\(\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}< \dfrac{1}{n^2}\)
Cộng từng vế của bất đẳng thức ta có:
\(\dfrac{2}{n+1}+\dfrac{1}{\left(n+1\right)^2}< \dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{n^2}\)
\(\Leftrightarrow u_{n+1}< u_n\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số giảm
Xét tính tăng , giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\) biết :
\(a,u_n=\dfrac{\sqrt{n+11}}{n}\)
\(b,u_n=\dfrac{4^n-1}{4^n+5}\)