Mình nghĩ đề bạn thiếu đó.

Kẻ AE vuông góc BC \(\Rightarrow ED=\dfrac{BD}{2}=1\Rightarrow AE=\sqrt{AD^2-ED^2}=2\)

Theo định lý phân giác: \(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{CD}{AC}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow AC=\dfrac{CD\sqrt{5}}{2}\)

Pitago: \(AE^2+EC^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow AE^2+\left(ED+DC\right)^2=AC^2\)

\(\Leftrightarrow4+\left(1+DC\right)^2=\dfrac{5CD^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{4}CD^2-2CD-5=0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}CD=10\\CD=-2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

mình nghĩ nên đẩy ý b) lên trước vì đã tính AC đâu mà có tỉ số :D

a) Áp dụng định lí Pythagoras cho ΔvuôngABC ta có :

BC² = AB² + AC²

=> \(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{15^2-9^2}=12\left(cm\right)\)

b) Tỉ số hai đoạn thẳng AB và AC : AB/AC = 9/12 = 3/4

c) Vì CD là phân giác của ^C nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có : \(\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}\)

Áp dụng tính chất dãy tí số bằng nhau ta có : \(\frac{AD}{AC}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD+BD}{AC+BC}=\frac{AB}{AC+BC}=\frac{9}{12+15}=\frac{1}{3}\)

=> \(\hept{\begin{cases}\frac{AD}{AC}=\frac{1}{3}\\\frac{BD}{BC}=\frac{1}{3}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}AD=\frac{1}{3}AC=4\left(cm\right)\\BC=\frac{1}{3}BC=5\left(cm\right)\end{cases}}\)

Link tham khảo : Cho tam giác ABC có các góc B và C là góc nhọn, đường phân giác AD. Biết AD AB = √5cm, BD =2cm. Tính độ dài DC. - Hoc24

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}BD=x\\CD=y\end{matrix}\right.\) với x;y là các số nguyên dương

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{x}{35}=\dfrac{y}{50}\Rightarrow y=\dfrac{10x}{7}\)

Do \(y\) nguyên và 10;7 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow x\) chia hết cho7

Mặt khác theo BĐT tam giác:

\(BC< AB+AC\Rightarrow x+y< 85\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{10x}{7}< 85\Rightarrow x< 35\)

BC lớn nhất khi x lớn nhất, số nguyên chia hết cho 7 và nhỏ hơn 35 lớn nhất là 28

Vậy \(x_{max}=28\Rightarrow BC_{max}=28+\dfrac{10.28}{7}=68\)