Question

Cho tam giác A B C có các đường phân giác trong là AD và AB = 35 cm; AC = 50 cm. Biết độ dài cạnh DB, DC (tính theo cm) là số nguyên, tính độ dài lớn nhất của đoạn BC.

 

 

 

 

Answer 1

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}BD=x\\CD=y\end{matrix}\right.\) với x;y là các số nguyên dương

Áp dụng định lý phân giác:

\(\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{CD}{AC}\Rightarrow\dfrac{x}{35}=\dfrac{y}{50}\Rightarrow y=\dfrac{10x}{7}\)

Do \(y\) nguyên và 10;7 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow x\) chia hết cho7

Mặt khác theo BĐT tam giác:

\(BC< AB+AC\Rightarrow x+y< 85\)

\(\Rightarrow x+\dfrac{10x}{7}< 85\Rightarrow x< 35\)

BC lớn nhất khi x lớn nhất, số nguyên chia hết cho 7 và nhỏ hơn 35 lớn nhất là 28

Vậy \(x_{max}=28\Rightarrow BC_{max}=28+\dfrac{10.28}{7}=68\)