Mình chứng minh theo phương pháp quy nạp
- Với n=1 thì phương trình ra 288 sẽ chia hết 288
- Với n=k => 7 -48k - 7 chia hết 288
Chứng minh với n=k+1 thì đẳng thức chia hết 288
Thế n bằng k+1
=

Vì chia hết 288 ( chứng minh phần n=k)
2304 chia hết 288 => 2304k chia hết 288
288 thì chia hết 288
=> đẳng thức đúng với n=k+1
=> Dpcm

CM \(7^{2n}-48n-1\) (1) chia hết cho 2304

Đặt \(u_n=7^{2n}-48n-1\)

Với n=1 \(\Leftrightarrow u_1=0⋮2304\left(đ\right)\)

Giả sử (1) đúng với n=k\(\ge1\)

\(\Leftrightarrow u_k=7^{2k}-48k-1⋮2304\)

Ta cần chứng minh (1) đúng với n=k+1

\(u_{k+1}=7^{2\left(k+1\right)}-48\left(k+1\right)-1\)

\(=7^{2k+2}-48k-48-1\)

\(=7^{2k}.7^2-48k-49\)

\(=7^2\left(7^{2k}-48k-1\right)+7^2.48k+7^2-48k-49\) (thêm bớt)

\(=7^2\left(7^{2k}-48k-1\right)+49.48k-48k\)

\(=7^2\left(7^{2k}-48k-1\right)+2304k\)

ta có \(7^{2k}-48k-1⋮2304\)

mà \(2304k⋮2304\)

\(\Rightarrow u_{k+1}⋮2304\)

vậy ...............

a, Ta có:

\(3^{2n+1}+2^{n+2}=9^n.3+2^n.4\)

\(=9^n.3-2^n.3+2^n.7=3\left(9^n-2^n\right)+2^n.7\)

Ta lại có:

\(9^n-2^n⋮9-2=7;2n.7⋮7\)

\(\Rightarrow3^{2n+1}+2^{n+2}⋮7\left(dpcm\right)\)

Bài 1:

$5a+8b\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-3(2b+2a)\vdots 3$

$\Leftrightarrow 5a+8b-6b-6a\vdots 3$

$\Leftrightarrow 2b-a\vdots 3$

 Ta có đpcm. 

Bài 2. Bổ sung thêm điều kiện $n$ là số tự nhiên.

Ta có: $A=n(2n+7)(7n+7)=7n(2n+7)(n+1)$

Vì $n,n+1$ là 2 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ tồn tại 1 số chẵn và 1 số lẻ

$\Rightarrow n(n+1)\vdots 2$

$\Rightarrow A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 2(1)$

Mặt khác:

Nếu $n\vdots 3$ thì $A=7n(n+1)(2n+7)\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $1$ thì $2n+7$ chia hết cho $3$ 

$\Rightarrow A\vdots 3$

Nếu $n$ chia $3$ dư $2$ thì $n+1$ chia hết cho $3$

$\Rightarrow A\vdots 3$

Tóm lại $A\vdots 3(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(2,3)=1$ nên $A\vdots (2.3)$ hay $A\vdots 6$

không biết làm