\(a,\left\{{}\begin{matrix}DH=HC\\BM=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow HM\) là đtb tam giác BDC

\(\Rightarrow HM//BD\)

\(b,HM//BD\left(cm.trên\right)\\ \Rightarrow BD\perp HE\left(1\right)\left(HM\perp HE\right)\)

Lại có H là trực tâm nên CH là đường cao tam giác ABC

\(\Rightarrow CH\perp AB\Rightarrow HD\perp BE\left(2\right)\)

Mà \(DE\cap BE=E\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow E\) là trực tâm tam giác HBD

\(c,\) H là trực tâm nên BH là đường cao 

\(\Rightarrow BH\perp AC\left(4\right)\)

Mà E là trực tâm nên DE là đường cao

\(\Rightarrow DE\perp BH\left(5\right)\\ \left(4\right)\left(5\right)\Rightarrow DE//AC\)

\(d,\left\{{}\begin{matrix}DH=HC\\\widehat{DHE}=\widehat{CHF}\left(đối.đỉnh\right)\\\widehat{DEH}=\widehat{HFC}\left(so.le.trong\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow\Delta DHE=\Delta CHF\left(g.c.g\right)\\ \Rightarrow EH=HF\)

a) Đề sai nha bạn (Phải là cm E là trực tâm của \(\Delta\)BHD)

Xét \(\Delta\)BDC: M là trung điểm của BC, HC=HD => H là trung điểm của CD.

=> HM là đường trung bình của \(\Delta\)BDC => HM//BD.

Mà HM vuông góc với EF => BD cũng vuông góc với EF (Quan hệ song song vuông góc)

Xét \(\Delta\)BHD: BE vuông góc với DH; HE vuông góc với BD ( EF vuông góc BD cmt)

=> E là trực tâm của \(\Delta\)BHD (đpcm)

b) Nối D với E.

Ta có E là trực tâm \(\Delta\)BHD (cmt) => DE vuông góc BH

Mà AC vuông góc BH => DE//AC (Quan hệ song song vuông góc) hay DE//CF

=> ^EDH=^FCH (Cặp góc So le trong)

Xét \(\Delta\)DEH và \(\Delta\)CFH: 

^DHE=^CHF (Đối đỉnh)

HD=HC                                     \(\Rightarrow\)\(\Delta\)DEH=\(\Delta\)CFH  (g.c.g)

^EDH=^FCH

\(\Rightarrow\)HE=HF (2 cạnh tương ứng) => Đpcm.

Gọi giao điểm HM với DC là P; giao điểm HN với BC là E 
a) Vì HP vuông góc với IK, mà IK//CD nên DC vuông góc với HP 
=> HP và CE là các đường cao của ▲HCN cắt nhau ở M 
=> M là trực tâm ▲HCN , nên NM là đường cao thứ 3 hay NM vuông góc với HC 
Lại có HC vuông góc với AB (CH là đường cao) 
=> NM//AB 
Xét ▲BDC có M là trung điểm BC và NM//BD nên ND = NC 
b) Do IK//CD nên theo Talet: IH/DN = IK/NC (= AI/AN) 
=> IH/IK = ND/NC = 1 (Vì ND = NC). Vậy IH = HK

...

Gọi giao điểm HM với DC là P; giao điểm HN với BC là E 
a) Vì HP vuông góc với IK, mà IK//CD nên DC vuông góc với HP 
=> HP và CE là các đường cao của ▲HCN cắt nhau ở M 
=> M là trực tâm ▲HCN , nên NM là đường cao thứ 3 hay NM vuông góc với HC 
Lại có HC vuông góc với AB (CH là đường cao) 
=> NM//AB 
Xét ▲BDC có M là trung điểm BC và NM//BD nên ND = NC 
b) Do IK//CD nên theo Talet: IH/DN = IK/NC (= AI/AN) 
=> IH/IK = ND/NC = 1 (Vì ND = NC). Vậy IH = HK

\(a,\left\{{}\begin{matrix}DH=HC\\BM=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow HM\) là đường trung bình tam giác BDC

\(\Rightarrow HM//BD\Rightarrow BD\perp HE\left(HM\perp HE\right)\\ \Rightarrow HE.là.đường.cao.\Delta BDH\left(1\right)\)

Ta có H là trực tâm nên CH hay CD là đường cao tam giác ABC

\(\Rightarrow CD\perp BA\Rightarrow DH\perp BE\\ \Rightarrow BE.là.đường.cao.\Delta BDH\left(2\right)\)

Ta có \(BE\cap HE=E\left(3\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow E.là.trực.tâm.\Delta BDH\)

1: Xét ΔDCB có 

M là trung điểm của BC

H là trung điểm của CD

Do đó: HM là đường trung bình của ΔDCB

Suy ra: HM//DB

1) Xét tam giác DBC có:

H là trung điểm của DC ( HD=HC )

M là trung điểm của BC ( gt )

=> HM là đường trung bình của tam giác DBC

=> HM//BD

2) Xét tam giác ABC có:

EF⊥HM(gt)

Mà HM//BD(cmt)

=> EF⊥BD

=> HE⊥BD

Ta có: BA⊥CA ( H là trực tâm tam giác ABC)

Mà \(E\in AB,D\in HC\)

=> BE⊥HD

Xét tam giác HBD có

BE⊥HD (cmt)

HE⊥BD (cmt)

Mà HE cắt BE tại E

=> E là trực tâm tam giác HBD

Gọi giao điểm HM với DC là P; giao điểm HN với BC là E 
a) Vì HP vuông góc với IK, mà IK//CD nên DC vuông góc với HP 
=> HP và CE là các đường cao của ▲HCN cắt nhau ở M 
=> M là trực tâm ▲HCN , nên NM là đường cao thứ 3 hay NM vuông góc với HC 
Lại có HC vuông góc với AB (CH là đường cao) 
=> NM//AB 
Xét ▲BDC có M là trung điểm BC và NM//BD nên ND = NC 
b) Do IK//CD nên theo Talet: IH/DN = IK/NC (= AI/AN) 
=> IH/IK = ND/NC = 1 (Vì ND = NC). Vậy IH = HK

Gọi giao điểm HM với DC là P; giao điểm HN với BC là E 
a) Vì HP vuông góc với IK, mà IK//CD nên DC vuông góc với HP 
=> HP và CE là các đường cao của ▲HCN cắt nhau ở M 
=> M là trực tâm ▲HCN , nên NM là đường cao thứ 3 hay NM vuông góc với HC 
Lại có HC vuông góc với AB (CH là đường cao) 
=> NM//AB 
Xét ▲BDC có M là trung điểm BC và NM//BD nên ND = NC 
b) Do IK//CD nên theo Talet: IH/DN = IK/NC (= AI/AN) 
=> IH/IK = ND/NC = 1 (Vì ND = NC). Vậy IH = HK