+ta có n là số tự nhiên lẻ =>24^n có chữ số tận cùng là 24 (cái này xem kĩ hơn về phần tính chất chia hét của lũy thừa nhé)

=>24^n+1 có chữ số tận cùng là 25 ( vì số chữ số tận cùng nào thì chia hết cho số đó =>25 chia hết 25)
 + ta có 24:23 (có dư là 1) =>24^n :23 (dư 1 )=>24^n+1 :23 (dư 2) => 24^n+1 k chia hết cho 23 

- Vì n là số tự nhiên lẻ

=> 24ⁿ có tận cùng là 24

=> 24ⁿ + 1 có tận cùng là 24 + 1 = 25 

Vì số chia hết cho 25 là số có chữ số tận cùng là 25 => 24ⁿ + 1 chia hết cho 25 (1)

- Vì 24 : 23 = 1 (dư 1)

=> 24ⁿ : 23 cũng sẽ dư 1

=> 24ⁿ + 1 : 23 sẽ có dư là 2

=> 24ⁿ + 1 sẽ không chia hết cho 23  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: 24ⁿ + 1 chia hết cho 25 nhưng ko chia hết cho 23 với n là số tự nhiên lẻ

\(n^3-n\)=   \(n\left(n^2-1\right)\)=  \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

Do (n-1)n(n+1) la h cua 3 so tự nhiên liên tiếp nên chia het cho 2 va 3

mà (2,3) =1 nen h chia het cho 6

Lại có n lẻ nên tích sẽ có 1 số chia hết cho 4

=> (n-1)n(n+1) chia hết cho 4*6 = 24

Hay \(n^3-1\)chia hết cho 24 với mọi số tự nhiên n lẻ

Đúng thì

Theo mình thì khi ta có a chia hết c, b chia hết cho c và (a,b)=1 thì ta mới có thể kết luận là ab chia hết cho c. 

Ví dụ: 12 chia hết cho 4, 12 chia hết cho 6 nhưng 12 không chia hết cho 24. 

Mình chỉ biết như thế còn không biết cách giải mong các bạn giúp đỡ.

Vì n lẻ 

=> n = 2k + 1 ( với k laf số tự nhiên )

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)^3-\left(2k+1\right)\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left[\left(2k+1\right)^2-1\right]\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)

Vì 2k ; 2k + 1 ; 2k + 2 là 3 số tự nhiên liên tiếp .

\(\Rightarrow\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\) chia hết cho 3

\(\Rightarrow n^3-n⋮3\)

Mặt khác : \(n^3-n=\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)2k\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)2\left(k+1\right)2k\)

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k\) 

Xét thấy k và k+1 là 2 số tự nhiên liên tiếp .

=> k(k+1) chia hết cho 2

\(\Rightarrow\left(2k+1\right)4\left(k+1\right)k⋮8\)

\(\Rightarrow n^3-n⋮8\) 

Mà (3;8) = 1

=> n³ - n chia hết cho 24 ( đpcm )

Ta có: n³ - n = (n - 1)n(n + 1)

Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có đúng một số chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 3 (1)

Vì n lẻ nên n - 1 và n + 1 chẵn. Trong hai số chẵn liên tiếp có đúng một số chia hết cho 4 \(\Rightarrow\) \(\left[{}\begin{matrix}n-1⋮4\\n+1⋮4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (n - 1)n(n + 1) \(⋮\) 3; 8

\(\Rightarrow n^3-n⋮24\)

n³-n=n(n²-1)=(n-1)n(n+1)

Ta có trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có 1 số chia hết cho 3 nên n³-n chia hết cho 3.

Vì n lẻ => n-1 và n+1 chia hết cho 2

Vì n lẻ => n = 4k+1 hoặc 4k + 3

Với n = 4k + 1 => n-1 =4k chia hết cho 4, n+1=4k+2 chia hết cho 2

=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24

Với n = 4k + 3 => n-1 = 4k+2 chia hết cho 2, n+ 1 = 4(k+1) chia hết cho 4

=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24

Vậy n³-n chia hết cho 24 với n lẻ, n ∈ N

\(\Rightarrow n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) (*)

(*) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow n^3-n⋮3\left(1\right)\)(1)

Vì n  là số lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\) Thay vào (*) ta được:

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+1\right)=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\) k(k+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) tồn  tại 1 số chia hết cho 2 \(\Rightarrow k\left(k+1\right)⋮2\Rightarrow4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮8\Rightarrow n^3-n⋮8\)(2)

Từ (1) và (2) kết hợp với (3;8)=1 \(\Rightarrow n^3-n⋮24\)

Bài 1 :

Nếu n lẻ thì n + 1 chẵn do đó tổng n số tự nhiên liên tiếp là \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\) là số chẵn nên không chia hết cho n vì n là số lẻ

Bài 2 :

Nếu n chẵn thì n + 1 lẻ do đó tổng n số tự nhiên liên tiếp là \(\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\) là số chẵn nên chia hết cho n vì n là số chẵn 

n^3+3n^2-n-3

=(n^3-n)+(3n^2-3)

=n(n^2-1)+3(n^2-1)=(n^2-1)(n+3)

Xét 8=3^2-1

bạn áp dụng vào công thức trên

=>n^2-1 chia hết cho 8

nên nhân với số nào cũng chia hết cho 8