Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hjhjhjhjhjhjhjhj

Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh \(n^3-n\) chia hết cho
24

Trần Mạnh
20 tháng 3 2021 lúc 15:36

n³-n=n(n²-1)=(n-1)n(n+1)

Ta có trong 3 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có 1 số chia hết cho 3 nên n³-n chia hết cho 3.

Vì n lẻ => n-1 và n+1 chia hết cho 2

Vì n lẻ => n = 4k+1 hoặc 4k + 3

Với n = 4k + 1 => n-1 =4k chia hết cho 4, n+1=4k+2 chia hết cho 2

=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24

Với n = 4k + 3 => n-1 = 4k+2 chia hết cho 2, n+ 1 = 4(k+1) chia hết cho 4

=> n³-n=(n-1)n(n+1) chia hết cho 4.3.2 = 24

Vậy n³-n chia hết cho 24 với n lẻ, n ∈ N

Nguyễn Trọng Chiến
20 tháng 3 2021 lúc 15:49

\(\Rightarrow n^3-n=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\) (*)

(*) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 3 \(\Rightarrow n^3-n⋮3\left(1\right)\)(1)

Vì n  là số lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\left(k\in N\right)\) Thay vào (*) ta được:

\(\Rightarrow n^3-n=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=2k\left(2k+2\right)\left(2k+1\right)=4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)\) k(k+1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp \(\Rightarrow\) tồn  tại 1 số chia hết cho 2 \(\Rightarrow k\left(k+1\right)⋮2\Rightarrow4k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)⋮8\Rightarrow n^3-n⋮8\)(2)

Từ (1) và (2) kết hợp với (3;8)=1 \(\Rightarrow n^3-n⋮24\)

 


Các câu hỏi tương tự
Edogawa Conan
Xem chi tiết
phu
Xem chi tiết
Ma Sói
Xem chi tiết
Nguyễn Trung Nguyên
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Hạ Vũ
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Thư
Xem chi tiết
Ngọc Linhh
Xem chi tiết
hà mai trang
Xem chi tiết