Cho tam giác ABC có AM và BN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Khẳng định nào sau đây đúng? (có thể chọn nhiều đáp án) *

Điểm G cách đều ba đỉnh của tam giác

Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác

GA = 2.GM

Điểm G cách đỉnh B một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến BN

GA = GB

GN = 3.BN

Cho tam giác ABC có AM và BN là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G. Khẳng định nào sau đây đúng? (có thể chọn nhiều đáp án) *

Điểm G cách đều ba đỉnh của tam giác

Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác

GA = 2.GM

Điểm G cách đỉnh B một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến BN

GA = GB

GN = 3.BN

a) tứ giácAPHN có góc P+góc N =180 độnên nội tiếp đc

vìABDC là HBH nên HC  song song BD,lại có CH vuông góc ABnên :góc ABD =90độ

chứng minh tương tự ta cũng có góc ACD=90 Độ

=> góc ABD+ góc ACD=180độ => tứ giác ABCD nôi tiếp đường tròn đường AD

b)Xét 2 tam giác ABE và ACH có :

 ABE=ACH ( cùng phụ với BAC )  (1)

BAE phụ với BDA;BDA=BCA  (góc nt cùng chắn CUNG AB )

CAH phụ với BCA(2)

Từ (1) và (2) suy ra 2 tam giác ABE, ACH đồng dạng 

=>\(\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{AC}{AH}=>AB\cdot AH=AE\cdot AC\)

C)

Gọi I là trung điểm BC  => I cố định (Do B và C cố định)

 Gọi O là trung điểm AD => O cố định ( Do BAC không đổi, B và C cố định, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC )

=>độ dài OI không đổi

ABDC là hình bình hành => I là trung điểm HD

=>OI=\(\dfrac{1}{2}\)AH ( OI là đường trung bình tam giác ADH)

=>độ dài AH không đổi    

Vì AH là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN, độ dài AH không đổi => độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN không đổi => đường tròn ngoại tiếp tứ giác APHN có diện tích không đổi

Chọn đáp án D.

* Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp trong một đường tròn.

Trong nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B, vẽ tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O)

a: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BD//CH

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

=>CD//BH

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD

BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

b: BHCD là hình bình hành

nên BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

=>I là trung điểm của HD

Xét ΔDAH có DI/DH=DO/DA

nen Io//AH và IO=AH/2

=>AH=2OI

c: G là trọng tâm

nên AG=2AI

Xét ΔAHD có

AI là trung tuyến

AG=2/3AI

DO đó: G là trọng tâm

a) Xét tứ giác BNHM có 

\(\widehat{BNH}\) và \(\widehat{BMH}\) là hai góc đối

\(\widehat{BNH}+\widehat{BMH}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)\)

Do đó: BNHM là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

Chọn D

+ Vì O thuộc đường trung trực của AB nên OA = OB, do đó đáp án A sai

+ Vì ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm nên O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC, suy ra O thuộc đường trung trực cạnh BC

Mà AB = AC nên A thuộc đường trung trực cạnh BC

Do đó AO là đường trung trực của BC ⇒ A O ⊥ B C , nên đáp án C đúng

+ Lại có tam giác ABC cân tại A (AB = AC) có AO là trung trực nên AO cũng là phân giác của góc BAC ⇒ B A O ^ = C A O ^

Khi đó  Δ B A O = Δ C A O ( c – g – c) (vì AB = AC, AO chung,  B A O ^ = C A O ^ )

Suy ra  A O B ^ = A O C ^ ⇒  Đáp án B sai

+ Do tam giác ABC là tam giác cân không đều nên O không phải là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác ABC nên O không cách đều ba cạnh của tam giác ABC, do đó đáp án D sai.

Chọn đáp án C

a: góc HMC+góc HNC=180 độ

=>HMCN nội tiếp

b: góc CED=góc CAD

góc CDE=góc CAE

mà góc CAD=góc CAE(=góc CBD)

nên góc CED=góc CDE

=>CD=CE