\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4ab\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\left(\dfrac{1}{b}+1\right)=4\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-x-y\)

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+3}}\le\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{\left(x+3\right)^2}{4}}}+\dfrac{y}{\sqrt{\dfrac{\left(y+3\right)^2}{4}}}=\dfrac{2x}{x+3}+\dfrac{2y}{y+3}\)

\(P\le\dfrac{4xy+6x+6y}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}=\dfrac{4xy+6x+6y}{xy+3x+3y+9}=\dfrac{4\left(3-x-y\right)+6x+6y}{3-x-y+3x+3y+9}=\dfrac{2x+2y+12}{2x+2y+12}=1\)

\(P_{max}=1\) khi \(x=y=1\) hay \(a=b=1\)

Đề thiếu, bạn coi lại đề.

Ta có \(-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\ge-\dfrac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2}}=\dfrac{4ab^2}{4b}=ab\)

\(-\dfrac{4a^2b}{4a^2+1}\ge-\dfrac{4a^2b}{2\sqrt{4a^2}}=\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\)

Mà \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4a^2+1}\ge a-ab+b-ab=4ab-2ab=2ab\)

Mà \(a+b=4ab\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

ĐK $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$

Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b$ thì bài toán trở thành:

Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b=4$. CMR:

$P=\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y^2}{x(y^2+4)}\geq \frac{1}{2}$

-----------------------

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y(x^2+4)}{64}\geq \frac{x}{4}$

$\frac{y^2}{x(y^2+4)}+\frac{x(y^2+4)}{64}\geq \frac{y}{4}$

Cộng theo vế và rút gọn:

$P\geq \frac{3(x+y)-xy}{16}=\frac{12-xy}{16}$

Mà $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=4$

$\Rightarrow P\geq \frac{12-4}{16}=\frac{1}{2}$

Ta có đpcm.

Ta có: \(\frac{a}{1+4b^2}=\frac{a\left(1+4b^2\right)-4ab^2}{1+4b^2}=a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\ge a-\frac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2.1}}=a-\frac{2ab^2}{2b}=a-ab\)(bđt cosi)

CMTT: \(\frac{b}{1+4a^2}\ge b-ab\)

=> P \(\ge a+b-2ab=4ab-2ab=2ab\)

Mặt khác ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)(cosi)

=> \(4ab\ge2\sqrt{ab}\) <=> \(2ab\ge\sqrt{ab}\)<=> \(4a^2b^2-ab\ge0\) <=> \(ab\left(4ab-1\right)\ge0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}ab\le0\left(loại\right)\\ab\ge\frac{1}{4}\end{cases}}\)(vì a,b là số thực dương)

=> P \(\ge2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1/2

Vậy MinP = 1/2 <=> a = b= 1/2

Ta có: \(a+b=4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\left(a+b\right)-1\right]\ge0\)

Mà \(a+b>0\Rightarrow a+b\ge1\)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có: \(P=\frac{a}{1+4b^2}+\frac{b}{1+4a^2}=\left(a-\frac{4ab^2}{1+4b^2}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{1+4a^2}\right)\)\(\ge\left(a-\frac{4ab^2}{4b}\right)+\left(b-\frac{4a^2b}{4a}\right)=\left(a+b\right)-2ab=\left(a+b\right)-\frac{a+b}{2}=\frac{a+b}{2}\ge\frac{1}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = ¹/₂

1) ta có: a(b^2 -1)(c^2 -1)+b(a^2 -1)(c^2 -1)+c(a^2-1)(b^2-1)

=(ab^2 -a)(c^2-1)+(ba^2 -b)(c^2-1)+(ca^2-c)(b^2-1)

 đén đây nhân bung ra hết rồi rút gọn và thay a+b+c=abc là đc

3a^2 + b^2  - 4ab = 0
<=> a^2 - 2ab + b^2 + 2a^2 - 2ab = 0
<=> (a-b)(3a-b) = 0
=> a = b  hoặc a = b/3
Mà b>a>0 => a = b/3
Thế vào A ta có: (b/3  -  b) / (b/3  +  b)
Rút gọn ta được: A = (1/3  -  1) / (1/3  +  1) = -1/2