Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Thị Huyền Diệp

Cho các số thực dương a,b thỏa mãn: (a+1)(b+1)=4ab. Tìm GTLN của

P=\(\dfrac{1}{\sqrt{3a^2+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3b^2+1}}\)

Nguyễn Việt Lâm
3 tháng 1 2022 lúc 16:42

\(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=4ab\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{a}+1\right)\left(\dfrac{1}{b}+1\right)=4\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)=4\Rightarrow xy=3-x-y\)

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}+\dfrac{y}{\sqrt{y^2+3}}\le\dfrac{x}{\sqrt{\dfrac{\left(x+3\right)^2}{4}}}+\dfrac{y}{\sqrt{\dfrac{\left(y+3\right)^2}{4}}}=\dfrac{2x}{x+3}+\dfrac{2y}{y+3}\)

\(P\le\dfrac{4xy+6x+6y}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}=\dfrac{4xy+6x+6y}{xy+3x+3y+9}=\dfrac{4\left(3-x-y\right)+6x+6y}{3-x-y+3x+3y+9}=\dfrac{2x+2y+12}{2x+2y+12}=1\)

\(P_{max}=1\) khi \(x=y=1\) hay \(a=b=1\)


Các câu hỏi tương tự
Người Vô Danh
Xem chi tiết
Hoàng Việt Tân
Xem chi tiết
Lizy
Xem chi tiết
Phạm Tiến Minh
Xem chi tiết
lethienduc
Xem chi tiết
Vũ Thanh Lương
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Nhật
Xem chi tiết
minh nguyen
Xem chi tiết
Tô Mì
Xem chi tiết