Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=min\left\{x;y;z\right\}\)

\(\Rightarrow z=3x^3+2x^2+x\le3y^3+2y^2+y\)

\(\Rightarrow z\le x\)

\(\Rightarrow z=x\)

\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow x=3y^3+2x^2+x\Rightarrow x^2\left(3x+2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)

@Nguyễn Việt Lâm

\(x^3=3y^2-3y+1=3\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{4}\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow x\ge\dfrac{1}{\sqrt[3]{4}}>\dfrac{1}{2}\)

Tương tự ta có \(y;z>\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x+y-1>0;y+z-1>0;z+x-1>0\)

TH1: \(x\ge y\Rightarrow x^3\ge y^3\Rightarrow3y^2-3y+1\ge3z^2-3z+1\)

\(\Rightarrow y^2-z^2-y+z\ge0\Rightarrow\left(y-z\right)\left(y+z+1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow y-z\ge0\Rightarrow y\ge z\Rightarrow x\ge z\) (1)

Cũng do \(y\ge z\Rightarrow y^3\ge z^3\)

\(\Rightarrow3z^2-3z+1\ge3x^2-3x+1\Rightarrow z^2-x^2-z+x\ge0\)

\(\Rightarrow\left(z-x\right)\left(z+x+1\right)\ge0\Rightarrow z\ge x\) (2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow x=y=z\)

TH2: \(x\le y\), hoàn toàn tương tự ta cũng chứng minh được \(x=y=z\)

Thay vào hệ ban đầu:

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-3x^2+3x=1\\y^3-3y^2+3y=1\\z^3-3z^2+3z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x=y=z=1\)

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-3z=2\\2x+7y+z=5\\-3x+3y-2z=-7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y-3z=2\\3y+7z=1\\-32z=-4\end{matrix}\right.\)

Đáp số : \(\left(x,y,z\right)=\left(\dfrac{55}{24},\dfrac{1}{24},\dfrac{1}{8}\right)\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\3x+4y-2z=5\\2x+y+2z=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\-5y+10z=14\\-5y+10z=10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-x-3y+4z=3\\-5y+10z=14\\0y+0z=-4\end{matrix}\right.\)

Phương trình cuối vô nghiệm, suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm