a) \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
c) \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
e) \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\left(a>0,b>0\right)\)
Giúp mình giải bài này nhé
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) \(a^2+b-2ab\ge0\) b) \(\frac{a^2
+b^2}{2}\ge ab\) c) \(a.\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\) e) \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\left(vớia>0,b>0\right)\)
a , sai đề thì phải @@
b, \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab< =>a^2+b^2\ge2ab< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*
c, \(\left(a+1\right)^2>a\left(a+2\right)< =>a^2+2a+1>a^2+2a< =>1>0\)*đúng*
d, Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số :
\(m^2+1\ge2m\)
\(n^2+1\ge2n\)
Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh
e, Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)
Nhân theo vế các BĐT cùng chiều ta được :
\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
câu a. \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
Chứng minh rằng:
a, \(a^2\)+\(b^2-2ab\ge0\)
b,\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
c,\(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d,\(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
e, \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)(với a > 0, b > 0)
a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>\(a^2+b^2-2ab\ge0\left(đpcm\right)\)
b) \(\left(a+b\right)^2\ge0\)
=> \(a^2+b^2+2ab\ge0\)
<=> \(a^2+b^2\ge-2ab\)
<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) (đpcm)
c) ta có: \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a+1\)
\(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)
Vậy từ 2 điều trên => \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\) (*)
<=>m2 - 2m +1 +n2 - 2n +1 \(\ge0\)
<=> \(\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (1)
(1) đúng => (*) đúng
d) Bạn ấy giải rồi ,mình không giải nữa
e) Theo BĐT cauchy ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a+b}{a}\ge4\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)\ge4\) (đpcm)
Vậy..........
17) Tìm giá trị nguyên của x để phân thức M có giá trị là 1 số nguyên:
M= \(\frac{10x^2-7x-5}{2x-3}\)
23) Cm rằng
a) \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
b) \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
c) \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
e) \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\) (với a>0, b>0)
25) Cho a>b hãy cm
a) a+2>b+2
b) -2a-5<-2b-5
c) 3a+5>3b+2
d) 2-4a<3-4b
17) \(\frac{10x^2-7x-5}{2x-3}\) là số nguyên khi 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3
Ta có: 10x² - 7x - 5 = 10x² - 15x + 8x - 12 + 7 = 5x(2x-3) + 4(2x-3) + 7
\(\Rightarrow\) 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3 khi và chỉ khi 7 chia hết cho 2x-3
\(\Rightarrow\) 2x - 3 \(\in\) Ư(7) \(\Leftrightarrow\) 2x - 3 = \(\left\{-1;1;-7;7\right\}\)
TH1: 2x-3 = -1 <=> x = 1
TH2: 2x-3 = 1 <=> x = 2
TH3: 2x-3 = -7 <=> x = -2
TH4: 2x-3 = 7 <=> x = 5
Vây có 4 giá trị nguyên của x là \(\left\{-2;1;2;5\right\}\)
23) Cm rằng
a) a2+b2−2ab ≥0
Ta có: a2+b2−2ab = a2−2ab+b2 = (a - b)2 ≥ 0 (đpcm)
b)\(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab
Ta có: (a-b)2 ≥0 vs mọi a,b
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥0
\(\Leftrightarrow\) a2+b2 ≥ 2ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab (đpcm)
c) a(a+2)<(a+1)2
Ta có: a(a+2)= a2+2a
(a+1)2 = a2 + 2a + 1
\(\Rightarrow\) a(a+2)<(a+1)2 (đpcm)
d) m2+n2+2 ≥ 2(m+n)
Ta có: (m-n)2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2- 2mn+n2 \(\ge\) 0
\(\Leftrightarrow\) m2+n2 \(\ge\) 2mn
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 \(\ge\) 2mn+2
\(\Leftrightarrow\) m2+n2+2 ≥ 2(m+n) (đpcm)
e) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (với a>0, b>0)
Ta có: (a - b)2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2−2ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) a2+2ab - 4ab+b2 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 - 4ab≥ 0
\(\Leftrightarrow\) (a + b)2 ≥ 4ab
\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b) ( \(\frac{a+b}{ab}\) ) ≥ 4
\(\Leftrightarrow\) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (vs a,b > 0) (đpcm)
25,
\(a,a>b\Leftrightarrow a+2>b+2\)
\(b,a>b\Leftrightarrow-2a< -2b\)
\(\Leftrightarrow-2a-5< -2b-5\)
\(c,a< b\)
\(\Leftrightarrow3a>3b\)
lại có: \(5>2\)
\(\Rightarrow3a+5>3b+2\)
\(d,a>b\)
\(\Leftrightarrow-4a< -4b\)
mà 2 < 3
\(\Leftrightarrow2-4a< 3-4b\\ \)
chứng minh rằng : a, \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
b, \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
c,\(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d,\(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
e, \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\) (với a>0 , b>0)
a) \(a^2+b^2-2ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\) (1)
b) Từ đẳng thức câu a) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) \(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
c) Ta có \(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)
Từ đẳng thức (1) ta được \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a.1+1^2=a^2+2a+1\)
Do a2 + 2a < a2 + 2a + 1 nên a(a + 2) < (a + 1)2
Chờ tý làm tiếp câu c) d) cho
a)ta có: (a-b)2\(\ge0\)
=> a2-2ab+b2\(\ge0\)(đpcm)
b)Từ phần a) => \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
<=> \(a^2+b^2\ge2ab\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)(đpcm)
c)ta thấy \(\left(a+1\right)^2-a\left(a+2\right)=1>0\)
=> \(\left(a+1\right)^2>a\left(a+2\right)\)(đpcm)
d)ta thấy: \(m^2+n^2+2-2m-2n=\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\)
\(=\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)
=> \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)(đpcm)
e)ta có: \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
Áp dụng BĐY cô si có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
=> \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2+2=4\)(đpcm)
d) Theo bất đẳng thức cô-si :
\(m^2+1\ge2\sqrt{m^2.1}=2m\)
\(n^2+1\ge2\sqrt{n^2.1}=2n\)
Do đó \(m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)
hay \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
e) Theo bất đẳng thức cô-si vào 2 số dương a,b ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
Do đó \(\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}=4\)
\(\dfrac{1}{\left(1+a^2\right)}+\dfrac{1}{\left(1+b^2\right)}\ge\dfrac{2}{\left(1+ab\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)+\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow1+b^2+ab+ab^3+1+a^2+ab+a^3b-2\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2-2ab+b^2\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
Điều này hiển nhiên đúng do ab \(\ge\) 1, (a-b)2 \(\ge\) 0
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1
(Nghi binh 28/09)
Đang có hứng:
Bài 1: CMR \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\forall a,b,c\ge0\)
Bài 2: CMR \(\frac{4\left(a^3+b^3+c^3\right)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^2}\ge4\left(a+b+c\right)\)\(\forall a,b,c\ge0\)
Bài 1 thì dễ rồi, bài 2 mình mới tìm được.
Não đặc-.-
Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek
Bài 1: CMR: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) với a,b,c dương
Bài làm:
Ta có: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}\)
\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}\)
\(=1-1=0\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r
bài 1 là AM-GM ở vt xong biến đổi tương đương phải không ạ ?
\(P=\frac{a}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}+\frac{b}{\sqrt{\left(c+1\right)\left(c^2-c+1\right)}}+\frac{c}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)}}\)
\(\ge\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab^2}{b^2+2}+\frac{bc^2}{c^2+2}+\frac{ca^2}{a^2+2}\right)\)
\(=6-\left(\frac{2ab^2}{b^2+4+b^2}+\frac{2bc^2}{c^2+4+c^2}+\frac{2ca^2}{a^2+4+a^2}\right)\ge6-\left(\frac{2ab}{b+4}+\frac{2bc}{c+4}+\frac{2ca}{a+4}\right)\)
\(=6-\left(2a+2b+2c-\frac{8a}{b+4}-\frac{8b}{c+4}-\frac{8c}{a+4}\right)\)
\(=\frac{8a}{b+4}+\frac{8b}{c+4}+\frac{8c}{a+4}-6=\frac{8a^2}{ab+4a}+\frac{8b^2}{bc+4b}+\frac{8c^2}{ca+4c}-6\)
\(\ge\frac{8\left(a+b+c\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)}-6\ge\frac{288}{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+24}-6=2\)
@Cool Kid:
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge\Sigma ab\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+a+b}\)
Hay một BĐT mạnh (và đẹp:v) hơn là:
\(\Leftrightarrow\Sigma\frac{1}{2}\left(a+b-c\right)\left(a-b\right)^2\ge\Sigma\frac{ab\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}\)
Ta cần chứng minh: \(VT-VP=\Sigma\frac{\left(a+b-c\right)^2\left(a-b\right)^2}{2\left(a+b\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Giả sử \(a\ge c\ge b\) và đặt \(a=b+u+v,c=b+v\)
Bất đẳng thức này đúng theo Cauchy-Schwawrz:
\(VT-VP\ge\frac{4\left(c+a-b\right)^2\left(c-a\right)^2}{4\left(a+b+c\right)}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\)
Last inequality is: https://imgur.com/tRsHOfr (mình không gửi ảnh được nên gửi link vậy!)
Done!
Chứng minh rằng:
a) \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
b) \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(a+1\right)^2\)
c) \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
d) \(M^2+N^2+2\left(M+N\right)\)
E\(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\)
(Giúp em với ạ,... Em đang cần gấp lắm ạ)