a , sai đề thì phải @@

b, \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab< =>a^2+b^2\ge2ab< =>\left(a-b\right)^2\ge0\)*đúng*

c, \(\left(a+1\right)^2>a\left(a+2\right)< =>a^2+2a+1>a^2+2a< =>1>0\)*đúng*

d, Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số :

\(m^2+1\ge2m\)

\(n^2+1\ge2n\)

Cộng theo vế ta có điều phải chứng minh 

e, Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\)

Nhân theo vế các BĐT cùng chiều ta được :

\(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{\frac{1}{ab}}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

câu a.    \(a^2+b^2-2ab\ge0\)

a) Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

=>\(a^2+b^2-2ab\ge0\left(đpcm\right)\)

b) \(\left(a+b\right)^2\ge0\)

=> \(a^2+b^2+2ab\ge0\)

<=> \(a^2+b^2\ge-2ab\)

<=> \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\) (đpcm)

c) ta có: \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a+1\)

\(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)

Vậy từ 2 điều trên => \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)

d) \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\) (*)

<=>m² - 2m +1 +n² - 2n +1 \(\ge0\)

<=> \(\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\) (1)

(1) đúng => (*) đúng

d) Bạn ấy giải rồi ,mình không giải nữa

e) Theo BĐT cauchy ta có: \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\Rightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\Leftrightarrow\left(\dfrac{a}{b}+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+1\right)\ge4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{b}+\dfrac{a+b}{a}\ge4\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{a}\right)\ge4\) (đpcm)

Vậy..........

17) \(\frac{10x^2-7x-5}{2x-3}\) là số nguyên khi 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3

Ta có: 10x² - 7x - 5 = 10x² - 15x + 8x - 12 + 7 = 5x(2x-3) + 4(2x-3) + 7

\(\Rightarrow\) 10x² - 7x - 5 \(⋮\) 2x - 3 khi và chỉ khi 7 chia hết cho 2x-3

\(\Rightarrow\) 2x - 3 \(\in\) Ư(7) \(\Leftrightarrow\) 2x - 3 = \(\left\{-1;1;-7;7\right\}\)
TH1: 2x-3 = -1 <=> x = 1
TH2: 2x-3 = 1 <=> x = 2
TH3: 2x-3 = -7 <=> x = -2
TH4: 2x-3 = 7 <=> x = 5
Vây có 4 giá trị nguyên của x là \(\left\{-2;1;2;5\right\}\)

23) Cm rằng

a)

a²−2ab+b² = (a - b)² ≥ 0 (đpcm)

b)\(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab

Ta có: (a-b)² ≥0 vs mọi a,b

\(\Leftrightarrow\) a²−2ab+b² ≥0

\(\Leftrightarrow\) a²+b² ≥ 2ab

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{a^2+b^2}{2}\) ≥ ab (đpcm)

c)

Ta có: a(a+2)= a²+2a

(a+1)² = a² + 2a + 1

\(\Rightarrow\) a(a+2)<(a+1)² (đpcm)

d)

(m-n)² \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) m²- 2mn+n² \(\ge\) 0

\(\Leftrightarrow\) m²+n² \(\ge\) 2mn

\(\Leftrightarrow\) m²+n²+2 \(\ge\) 2mn+2

\(\Leftrightarrow\)

e) (với a>0, b>0)

Ta có: (a - b)² ≥ 0

\(\Leftrightarrow\) a²−2ab+b² ≥ 0

\(\Leftrightarrow\) a²+2ab - 4ab+b² ≥ 0

\(\Leftrightarrow\) (a + b)² - 4ab≥ 0

\(\Leftrightarrow\) (a + b)² ≥ 4ab

\(\Leftrightarrow\) \(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab}\) ≥ 4

\(\Leftrightarrow\) (a+b) ( \(\frac{a+b}{ab}\) ) ≥ 4

\(\Leftrightarrow\) (a+b)(\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\))≥4 (vs a,b > 0) (đpcm)

25,

\(a,a>b\Leftrightarrow a+2>b+2\)

\(b,a>b\Leftrightarrow-2a< -2b\)

\(\Leftrightarrow-2a-5< -2b-5\)

\(c,a< b\)

\(\Leftrightarrow3a>3b\)

lại có: \(5>2\)

\(\Rightarrow3a+5>3b+2\)

\(d,a>b\)

\(\Leftrightarrow-4a< -4b\)

mà 2 < 3

\(\Leftrightarrow2-4a< 3-4b\\ \)

a) \(a^2+b^2-2ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\) (1)

b) Từ đẳng thức câu a) \(\Rightarrow a^2+b^2\ge2ab\) \(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)

c) Ta có \(a\left(a+2\right)=a^2+2a\)

Từ đẳng thức (1) ta được \(\left(a+1\right)^2=a^2+2a.1+1^2=a^2+2a+1\)

Do a² + 2a < a² + 2a + 1 nên a(a + 2) < (a + 1)²

    Chờ tý làm tiếp câu c) d) cho 

a)ta có: (a-b)²\(\ge0\)

=> a²-2ab+b²\(\ge0\)(đpcm)

b)Từ phần a) => \(a^2+b^2-2ab\ge0\)

                     <=> \(a^2+b^2\ge2ab\)

=> \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)(đpcm)

c)ta thấy \(\left(a+1\right)^2-a\left(a+2\right)=1>0\)

=> \(\left(a+1\right)^2>a\left(a+2\right)\)(đpcm)

d)ta thấy: \(m^2+n^2+2-2m-2n=\left(m^2-2m+1\right)+\left(n^2-2n+1\right)\)

                                                             \(=\left(m-1\right)^2+\left(n-1\right)^2\ge0\)

=> \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)(đpcm)

e)ta có: \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)

Áp dụng BĐY cô si có:\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)

=>  \(\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2+2=4\)(đpcm)

d) Theo bất đẳng thức cô-si :

\(m^2+1\ge2\sqrt{m^2.1}=2m\)

\(n^2+1\ge2\sqrt{n^2.1}=2n\)

Do đó \(m^2+1+n^2+1\ge2m+2n\)

hay \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)

e) Theo bất đẳng thức cô-si vào 2 số dương a,b ta có :

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

Do đó \(\left(a+b\right)+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge2\sqrt{ab}+\frac{1}{\sqrt{ab}}=4\)

Não đặc-.-

Nếu sửa đề ntn thì mk nghĩ không ngược dấu mới làm được nek

Bài 1: CMR: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge0\) với a,b,c dương

Bài làm:

Ta có: \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}-\frac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

\(\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}}-\frac{8abc}{2\sqrt{ab}\cdot2\sqrt{bc}\cdot2\sqrt{ca}}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}-\frac{8abc}{8abc}\)

\(=1-1=0\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)

Vãi bạn, mình đang đưa các bài tập về các bđt ngược chiều nên đề như thế là đúng r

bài 1 là AM-GM ở vt xong biến đổi tương đương phải không ạ ?

đúng rồi

 chó điên