Đáp án là  C.

 + S C D ; A B C D ^ = S N O ^ = 60 0 .  

+ A B / / C D ⇒ A B / / S C D

⇒ d B ; S C D = d M ; S C D ; (M là trung điểm AB).

  S O = O N . tan 60 0 = a 3 2 ; 1 O K 2 = 1 O S 2 + 1 O N 2 = 16 3 a 2 ⇒ O K = d O ; S C D = a 3 4  

+ d M ; S C D = 2 d O ; S C D = 2 O K = a 3 2 .

Vì SABC là hình chóp đều nên nó sẽ có tính đối xừng, và cách làm giống bài bên trên toi vừa làm, bạn tham khảo

Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow SH\perp AB\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp BC\)

Mà \(BC\perp AB\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\)

Gọi K là trung điểm CD \(\Rightarrow HK||BC\Rightarrow HK\perp AB\Rightarrow HK\perp\left(SAB\right)\)

Trong tam giác SHK, kẻ \(HI\perp SK\Rightarrow HI\perp\left(SCD\right)\)

\(\Rightarrow HI=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

Mà \(AH||CD\Rightarrow AH||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)=HI\)

\(SH=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(HK=BC=a\)

\(\dfrac{1}{HI^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{7}{3a^2}\Rightarrow HI=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}\)

b. Theo cmt ta có \(BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=BC=a\)

c. \(BC||AD\Rightarrow d\left(C;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Mà BH cắt (SAD) tại A, đồng thời \(BA=2HA\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=2d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)

Từ H kẻ \(HM\perp SA\Rightarrow HM\perp\left(SAD\right)\Rightarrow HM=d\left(H;\left(SAD\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{HM^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{16}{3a^2}\Rightarrow HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(\Rightarrow d\left(C;\left(SAD\right)\right)=2HM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Gọi O là tâm đáy, M là trung điểm AB và H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD)

\(\Rightarrow\) H trùng tâm của tam giác đều ABC đồng thời HM là trung tuyến (kiêm đường cao) của tam giác ABC

\(\widehat{DCH}=\widehat{ACH}+\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=\dfrac{1}{2}.60^0+60^0=90^0\)

\(\Rightarrow HC\perp CD\)

\(\Rightarrow CD\perp\left(SCH\right)\Rightarrow\widehat{SCH}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD) \(\Rightarrow\widehat{SCH}=60^0\)

\(CH=\dfrac{2}{3}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=CH.tan60^0=a\)

\(AB||CD\Rightarrow AB||\left(SCD\right)\Rightarrow d\left(AB;SD\right)=d\left(AB;\left(SCD\right)\right)=d\left(M;\left(SCD\right)\right)\)

MH cắt (SCD) tại C, mà \(CM=\dfrac{3}{2}CH\Rightarrow d\left(M;\left(SCD\right)\right)=\dfrac{3}{2}d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

Trong tam giác vuông SCH, kẻ \(HK\perp SC\Rightarrow HK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow HK=d\left(H;\left(SCD\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{CH^2}=\dfrac{4}{3a^2}\Rightarrow HK=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow d\left(AB;SD\right)=\dfrac{3a\sqrt{3}}{4}\)