a, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )

\(\Rightarrow a^2+2ab+b^2=\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{ab}=\dfrac{a}{ab}+\dfrac{b}{ab}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

b, Ta có : \(a^2+b^2\ge2ab\) ( cauchuy )

\(\Rightarrow ab\le\dfrac{a^2+b^2}{2}\)

ab≤a2+b2/2

áp dụng Bunhiacopxki đi tui vừa làm xong 

Câu hỏi của kiss you - Chuyên mục hỏi đáp - Giúp tôi giải toán. - Học toán với OnlineMath

b)

Đề: Cho a, b, c > 0 và abc = ab + bc + ca. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\le\frac{3}{16}\)

~ ~ ~ ~ ~

\(abc=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow1=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta có:

\(\frac{1}{a+2b+3c}+\frac{1}{2a+3b+c}+\frac{1}{3a+b+2c}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2\left(b+c\right)}+\frac{1}{2\left(a+b\right)}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2\left(a+c\right)}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(=\frac{1}{4}\left[\frac{3}{2\left(a+c\right)}+\frac{3}{2\left(b+c\right)}+\frac{3}{2\left(a+b\right)}\right]\)

\(=\frac{3}{8}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+b}\right)\)

\(\le\frac{3}{32}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=\frac{3}{16}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c 

3.1 

Xét hiệu :

\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)

\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)

Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)

3.2

Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:

\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)

nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )

Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)

\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)

Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)

BĐT Bunnhiacopxki

Với mọi số a;b;x;y ta có:

\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Nguyễn Huy Thắng Sai tên BĐT

BĐT này là BĐT Bunhiacopxki.

Chứng minh:

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

<=> \(a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+2axby+b^2y^2\)

<=> \(a^2y^2-2axby+b^2x^2\ge0\)

<=> \(\left(ay-bx\right)^2\ge0\)  điều này đúng nên BĐT được chứng minh

Dấu bằng xảy ra <=> \(ay=bx\) <=> \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

(ax+by)\(^{^2}\)\(\le\) (\(a^2\)+\(b^2\))(\(x^2\)+\(y^2\))

<=> \(a^2\)\(x^2\)+2axby+\(b^2\)\(y^2\)\(\le\)\(a^2\)\(x^2\)+\(a^2\)\(y^2\)+\(b^2\)\(x^2\)+\(b^2\)\(y^2\)

<=> 2axby\(\le\)\(a^2\)\(y^2\)+\(b^2\)\(x^2\)

<=>\(a^2\)\(y^2\)-2aybx+\(b^2\)\(x^2\)\(\ge\)0

<=> \(\left(ay-bx\right)^2\)\(\ge\)0(luôn đúng)

dấu = xảy ra khi ay-bx=0 <=> ay=bx

BDT Bunnhiacopxki

Với mọi số a;b;x;y ta có:

\(\left(ax+by\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)

dấu = xảy ra khi \(\Leftrightarrow\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\)

Mày nhìn cái chóa j

câu a dễ mà mình học lớp 6 thôi

do a>0 , b> 0 nên a , b là số nguyên dương

=> để a.b=1

thì a=1

b=1

=>(1+1).(1+1)

=    2.2

=4 

4 =4

=> (a+1).(b+1) \(\ge\)

bài 2 : đó là bất đẳng thức cô shi đó bạn dấu ''='' xảy ra khi a=b

bạn nguyễn văn hoàng ơi a>0, b>0 có thể a=1/2 và b=2 chẳng hạn

bạn giải sai r

câu 1 :a²+ab+ b²/4 +3b²/4=(a+b/2)² +3b²/2 tong 2 binh phương luôn >=0 dau bang khi ca hai số đó bằng 0. a=0 và b=0

câu 2: a^2-ab+ b²/4 +3b²/4=(a-b/2)² +3b²/2 .a=0 và b=0