Bài 1

Vì 6x+11y chia hết cho 31

=> 6x+11y+31y chia hết cho 31 (31y chia hết cho 31)

=> 6x+42y chia hết cho 31

=> 6(x+7y) chia hết cho 31

Mà (6;31)=1 nên x+7y chia hết cho 31 (đpcm)

Bài 3

n 2 + 3n - 13 chia hết cho n + 3

=>n(n+3)-13 chia hết cho n+3

=>13 chia hết cho n+3

=>n+3 thuộc Ư(13)={-1;1;-13;13}

=>n thuộc{-4;-2;-16;10}

n 2 + 3 chia hết cho n - 1

ta có: n-1 chia hết cho n-1

=>(n-1)(n+1) chia hết cho n-1

=>n^2+n-n-1 chia hết cho n-1

=>n^2-1 chia hết cho n-1 mà n2 + 3 chia hết cho n - 1

=>(n^2+3)-(n^2-1) chia hết cho n-1

=>4 chia hết cho n-1

=>n-1 thuộc Ư(4)={-1;1;-2;2;-4;4}

=> n thuộc {0;2;-1;3;-3

Bài 2 mik ko chắc nên ko đăng lên nha bạn

3n-9/n-2=3(n-2+7)/3(n-2)=1+7/n-2

=> n-2 thuộc ước của 7={+-1;+-7)

=> n-2 =-1=>n=1 

n-2=1=>n=3

n-2=-7=> n=-5

n-2=7=>n=9 (mình không chắc đúng nha! :) )

\(4x-xy+2y=3\)

\(\Rightarrow x\left(4-y\right)-8+2y=3-8\)

\(\Rightarrow x\left(4-y\right)-2\left(4-y\right)=-5\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(4-y\right)=-5\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(y-4\right)=5\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right);\left(y-4\right)\inƯ\left(5\right)=\left\{\pm1;\pm5\right\}\)

Tự xét bảng

\(3y-xy-2x-5=0\)

\(\Rightarrow y\left(3-x\right)-2x=5\)

\(\Rightarrow y\left(3-x\right)+6-2x=5+6\)

\(\Rightarrow y\left(3-x\right)+2\left(3-x\right)=11\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)\left(3-x\right)=11\)

\(\Rightarrow\left(3-x\right);\left(y+1\right)\inƯ\left(11\right)=\left\{\pm1;\pm11\right\}\)

Tự xét

\(2xy-x-y=100\)

\(\Rightarrow x\left(2y-1\right)-y=100\)

\(2x\left(2y-1\right)-\left(2y-1\right)=100+1\)

\(\left(2x-1\right)\left(2y-1\right)=101\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right);\left(2y-1\right)\inƯ\left(101\right)=\left\{\pm1;\pm101\right\}\)

Tự xét bảng

P/s : bài 3 có gì sai ko ?

bài 3 ko sai đâu

sao ra y+1 hay j

1) Đặt \(A=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-abc\)

\(\Rightarrow A=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

\(\Rightarrow A\)có dạng \(4k-2abc\left(k\in Z\right)\)

Giả sử trong 3 số \(a,b,c\)có 1 số lẻ \(\Rightarrow\)Trong \(a,b,c\)có một số chẵn \(\left(a+b+c=4\right)\)

\(\Rightarrow2abc⋮4\)

Giả sử trong \(a,b,c\)có 1 số chẵn \(\Rightarrow2abc⋮4\)

\(\Rightarrow2abc=4m\)\(\Rightarrow A=4k-4m\). Mà \(4k-4m=4\left(k-m\right)⋮4\Rightarrow A⋮4\)

Vậy \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)-abc⋮4\)(đpcm)

a)Ta có:

\(\left(n+5\right)⋮\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n-1+6\right)⋮\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow6⋮\left(n-1\right)\)

Ta có bảng sau:

b)\(\left(2n-4\right)⋮\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow\left(2n+4-8\right)⋮\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow8⋮\left(n+2\right)\)

Ta có bảng sau:

c)Ta có:

\(\left(6n+4\right)⋮\left(2n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(6n+3+1\right)⋮\left(2n+1\right)\)

\(\Rightarrow1⋮\left(2n+1\right)\)

Ta có bảng sau:

d)Ta có:

\(\left(3-2n\right)⋮\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(-2n-2+5\right)⋮\left(n+1\right)\)

\(\Rightarrow5⋮\left(n+1\right)\)

Ta có bảng sau:

Ta có:

\(M=5+5^2+5^3+...+5^{101}\)

\(\Rightarrow M=\left(5+5^2\right)+\left(5^3+5^4\right)+....+\left(5^{99}+5^{100}\right)+5^{101}\)

\(\Rightarrow M=30+5^3\left(1+5\right)+....+5^{99}\left(1+5\right)+5^{101}\)

\(\Rightarrow M=30+6.5^3+...+6.5^{99}+5^{101}\) có tận cùng bằng 5

⇒c=5

Mà \(\overline{abcd}⋮25\Rightarrow\overline{cd}⋮25\Rightarrow\overline{5d}⋮25\Rightarrow d=0\)

Lại có:

\(\overline{ab}=a+b^2\Rightarrow10a+b=a+b^2\)

\(\Rightarrow10a-a=b^2-b\Rightarrow9a=b\left(b-1\right)\)

\(\Rightarrow b\left(b-1\right)⋮9\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b⋮9\\\left(b-1\right)⋮9\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}b=9\\\varnothing\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow9a=9.8=72\Rightarrow a=8\)

Vậy \(\overline{abcd}=8950\)

a, Giả sử \(x,y \vdots 3\)

=> \(x^2 ;y^2 \) : 3 dư 1

=> \(z^2 = x^2+y^2 \) : 3 dư 2 ( vô lý vì \(z^2\) là số chính phương )

Vậy \(x\vdots 3y\vdots 3 => xy \vdots 3\)

Chứng minh tương tự \(xy \vdots 4\)

\((3;4) =1 => xy \vdots 12\)