Giấ trị nhỏ nhất là 8

GTNN = 8 đạt khi   $t=0\iff x=2$

\(C=\left(x-1\right)\left(x+3\right)\left(x+2\right)\left(x+6\right)\)

\(C=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(C=\left(x^2+5x\right)^2-36\)

Ta có: \(\left(x^2+5x\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\forall x\)

\(C=-36\Leftrightarrow\left(x^2+5x\right)^2=0\Leftrightarrow x^2+5x=0\Leftrightarrow x\left(x+5\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy \(C_{min}=-36\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

C = ( x - 1 )( x + 3 )( x + 2 )( x + 6 ) 

C = [( x - 1 )( x + 6 )][( x + 3 )( x + 2 )]

C = ( x² + 5x - 6 )( x² + 5x + 6 )

Đặt a = x² + 5x 

=> C = ( a - 6 )( a + 6 ) = a² - 36 

\(a^2\ge0\forall a\Rightarrow a^2-36\ge-36\)

Dấu " = " xảy ra <=> a² = 0 => a = 0

<=> x² + 5x = 0

<=> x( x + 5 ) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy C_Min = -36, đạt được khi x = 0 hoặc x = -5

\(A=8\left(x-2\right)^4+8\ge8\)

chúc mừng bạn đã hoàn thành bài làm khi mình đã biết làm 

vì vậy mình sẽ ko cho bạn

Uk hiểu rồi từ này về sau sẽ tránh câu hỏi của bạn. Yên tâm.

c) \(h\left(x\right)=\left(x+1\right)^2+\left(\dfrac{x^2+2x+2}{x+1}\right)^2=\left(x+1\right)^2+\left(x+1+\dfrac{1}{x+1}\right)^2=2\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}+2\ge_{AM-GM}2\sqrt{2}+2\).

Đẳng thức xảy ra khi \(2\left(x+1\right)^2=\dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}\Leftrightarrow x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{2}}-1\).

b) \(g\left(x\right)=\dfrac{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}{x}=\dfrac{x^2+5x+6}{x}=\left(x+\dfrac{6}{x}\right)+5\ge_{AM-GM}2\sqrt{6}+5\).

Đẳng thức xảy ra khi x = \(\sqrt{6}\).

Câu a muốn có min thì đề bài phải là \(x\ge4\) (có dấu "=")

Còn \(x>4\) thì chắc là đề sai

\(A=\left(x-1\right)\left(x-8\right)\left(x-4\right)\left(x-5\right)+2002\)

\(\Leftrightarrow A=\left(x^2-9x+8\right)\left(x^2-9x+20\right)+2002\)

Đặt \(x^2-9x+14=y\)

\(\Rightarrow A=\left(y-6\right)\left(y+6\right)+2002\)

\(\Leftrightarrow A=y^2-36+2002\)

\(\Leftrightarrow A=y^2+1966\ge1966\)

Dấu "=" xảy ra khi

 \(x^2-9x+14=0\)

\(\Leftrightarrow x=2,7\)

Ta có : 

\(A=\left(x-1\right)^4+\left(x-3\right)^4+6\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)

\(A=\left(x-1\right)^4+2\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2+\left(x-3\right)^4+4\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)

\(A=\left[\left(x-1\right)^2+\left(x-3\right)^2\right]^2+4\left(x-1\right)^2\left(x-3\right)^2\)

\(A=\left[2x^2-8x+10\right]^2+4\left(x^2-4x+3\right)^2\)

\(A=\left[2\left(x-2\right)^2+2\right]+4\left[\left(x-2\right)^2-1\right]^2\)

\(A=4\left(x-2\right)^4+8\left(x-2\right)^2+4+4\left(x-2\right)^4-8\left(x-2\right)^2+4\)

\(A=8\left(x-2\right)^4+8\ge8\)

Vậy GTNN của biểu thức A là 8 \(\Leftrightarrow x=2\)

Đặt x-2=y

=> \(A=\left(y+1\right)^4+\left(y-1\right)^4+6\left(y+1\right)^2\left(y-1\right)^2\)

Khai triển A ta được 

\(A=2y^4+12y^2+2+6\left(y^4-2y^2+1\right)\)

\(=8y^4+8=8\left(y^4+1\right)\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi y=0 lúc đó x=0+2=2

Vậy A_min=8 khi x=2

Ta có :

\(P=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+6\right)\)

\(=\left[\left(x-1\right)\left(x+6\right)\right]\left[\left(x+2\right)\left(x+3\right)\right]\)

\(=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=\left(x^2+5x\right)^2-36\)

Vì \(\left(x^2+5x\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\forall x\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi :
\(\left(x^2+5x\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x=0\)

\(x\left(x+5\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x+5=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

Vậy \(P_{min}=-36\)tại \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{3-x}\right)^2+\dfrac{4}{\left(x-2+3-x\right)^2}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-2}+\dfrac{1}{3-x}\right)^2+4\)

\(P\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{4}{x-4+3-x}\right)^2+4=12\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x-2=3-x\Rightarrow x=\dfrac{5}{2}\)