\(\Delta=\left(2m-2\right)^2-4\cdot1\cdot4=4m^2-8m+16-16=4m^2-8m\)

Để BPT luôn đúng thì 4m^2-8m<0

=>4m(m-2)<0

=>0<m<2

\(x^2+2\left(m-1\right)x+4>0\forall x\inℝ\)

\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(m-1\right)^2-4< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m+1\right)< 0\Leftrightarrow-1< m< 3\).

Muốn một tam thức bậc 2 nhỏ hơn 0 với mọi x thì hệ số a phải nhỏ hơn 0 và Δ < 0 luôn

Cơ mà 1 > 0 rồi nên không có m thoả mãn

Để f(x)<0

`<=>a<0,\Delta<0`

`<=>1<0` vô lý.

Vậy BPT vô nghiệm

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-3m+2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-m\right)^2-3m+2\)

Ta có : \(\left(x-m\right)^2\ge0\)

Để \(f\left(x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

Vậy để \(f\left(x\right)>0\forall x\inℝ\Leftrightarrow m>-\frac{2}{3}\)

P/s : K biết có sai chỗ nào k ạ ? Check hộ e :)

Bài vừa rồi mik làm sai nhé :(( Làm lại :

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-3m+2\)

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=\left(x-m\right)^2-3m+2\)

Ta thấy : \(\left(x-m\right)^2\ge0\)

Để \(f\left(x\right)>0\)

\(\Leftrightarrow-3m+2>0\)

\(\Leftrightarrow2>3m\)

\(\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

Vậy để \(f\left(x\right)>0\forall x\inℝ\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

TH1: m + 1 = 0 <=>  m = -1 

Khi đó bpt trở thành: -x - 1 < 0 <=> x > - 1 loại

TH2: m + 1 \(\ne\)0 <=> m\(\ne\)-1

Bất phương trình đúng với mọi số thực x 

<=> \(\hept{\begin{cases}m+1< 0\\\Delta< 0\end{cases}}\)

+) Giải: m + 1 < 0 <=> m < -1 (1)

+) Giải: \(\Delta< 0\)<=> \(m^2-4m\left(m+1\right)< 0\)

<=> \(-3m^2-4m< 0\)

<=> m > 0 hoặc m < -4/3 (2)

Từ (1) ; (2) ta có: m < -4/3

1.a.

\(\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+5\right)\ge m\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+3x+2\right)\left(x^2+3x-10\right)\ge m\)

Đặt \(x^2+3x-10=t\ge-\dfrac{49}{4}\)

\(\Rightarrow\left(t+2\right)t\ge m\Leftrightarrow t^2+2t\ge m\)

Xét \(f\left(t\right)=t^2+2t\) với \(t\ge-\dfrac{49}{4}\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-1\) ; \(f\left(-1\right)=-1\) ; \(f\left(-\dfrac{49}{4}\right)=\dfrac{2009}{16}\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge-1\)

\(\Rightarrow\) BPT đúng với mọi x khi \(m\le-1\)

Có 30 giá trị nguyên của m

1b.

Với \(x=0\)  BPT luôn đúng

Với \(x\ne0\) BPT tương đương:

\(\dfrac{\left(x^2-2x+4\right)\left(x^2+3x+4\right)}{x^2}\ge m\)

\(\Leftrightarrow\left(x+\dfrac{4}{x}-2\right)\left(x+\dfrac{4}{x}+3\right)\ge m\)

Đặt \(x+\dfrac{4}{x}-2=t\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-6\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t\left(t+5\right)\ge m\Leftrightarrow t^2+5t\ge m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=t^2+5t\) trên \(D=(-\infty;-6]\cup[2;+\infty)\)

\(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{5}{2}\notin D\) ; \(f\left(-6\right)=6\) ; \(f\left(2\right)=14\)

\(\Rightarrow f\left(t\right)\ge6\)

\(\Rightarrow m\le6\)

Vậy có 37 giá trị nguyên của m thỏa mãn

2.

Xét với \(x\ge1\)

\(m\left(x+1\right)+3\left(x-1\right)-2\sqrt{x^2-1}=0\)

\(\Leftrightarrow m+3\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)-2\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=0\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{x-1}{x+1}}=t\Rightarrow0\le t< 1\)

\(\Rightarrow m+3t^2-2t=0\)

\(\Leftrightarrow3t^2-2t=-m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=3t^2-2t\) trên \(D=[0;1)\)

\(-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{1}{3}\in D\) ; \(f\left(0\right)=0\) ; \(f\left(\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{1}{3}\) ; \(f\left(1\right)=1\)

\(\Rightarrow-\dfrac{1}{3}\le f\left(t\right)< 1\)

\(\Rightarrow\) Pt có nghiệm khi \(-\dfrac{1}{3}\le-m< 1\)

\(\Leftrightarrow-1< m\le\dfrac{1}{3}\)

\(f\left(x\right)=x^2-2mx+m^2-3m+2>0\forall x\in R\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a>0\\\Delta'< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1>0\left(lđ\right)\\\left(-m\right)^2-m^2+3m-2< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow3m-2< 0\Leftrightarrow m< \frac{2}{3}\)

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(x\right)=\left(m+1\right)x^2+mx+m\)

TH1: \(m+1=0\Leftrightarrow m=-1\Rightarrow f\left(x\right)>0,\forall x\in R\)

TH2: \(m+1\ne0\Leftrightarrow m\ne-1\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=-3m^2-4m< 0\\m+1< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< -\frac{4}{3}\)

Đ/s: \(m< -\frac{4}{3};m=-1\)

f(x)=(m+1)x2+mx+m

TH1: $m+1=0\iff m=-1\Rightarrow f\left(x\right)>0,\forall x\in R$

TH2: $m+1\ne 0\iff m\ne -1$

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi {Δ=−3�2−4�<0�+1<0⇔�<−43{Δ=−3m2−4m<0m+1<0​⇔m<−34​

Đ/s: �<−43;�=−1m<−34​;m=−1