mình chỉ biết bài 4 thôi
Bài 4: Vì tổng bằng 1012 nên trong 3 số nguyên tố đó thì phải có 1 số nguyên tố là số chẵn. Nên số chẵn đó là 2 đồng thời là số nhỏ nhất. Vậy số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đó

1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

*p = 2 thì p\(^2\)+2 = 6(loại vì 6 không phải là số nghuyên tố)
* p = 3 thì p\(^2\)+2 = 11(chọn vì 11 là số nghuyên tố)
\(\Rightarrow\) p\(^3\) + 2 = 3\(^3\)+2 = 29 (là số nghuyên tố)
* p >3
Vì p là số nguyên tố \(\Rightarrow\)p ko chia hết cho 3 (1)
p thuộc Z \(\Rightarrow p^2\)là số chính phương (2)
từ (1),(2) \(\Rightarrow p^2\) chia 3 dư 1
\(\Rightarrow p^2\)+2 chia hết cho 3 (3)
Mặt khác p>3
\(\Rightarrow p^2>9\)
\(\Rightarrow p^2\)+2 > 11 (4)
Từ (3),(4) \(\Rightarrow p^2\)+2 ko là số nguyên tố (trái với đề bài)

Với P>3 thì P có dạng 3n+1 hoặc 3n+2

*P=3n+1

=>P²+1994=(3n+1)²+1994=9n²+6n+1995=3.(3n²+2n+665) chia hết cho 3 

=>P²+1994 không phải số nguyên tố

*P=3n+2

=>P²+1994=(3n+2)²+1994=9n²+12n+1998=3.(3n²+4n+666) chia hết cho 3 

=>P²+1994 không phải là số nguyên tố

Suy ra: P không thể lớn hơn 3 =>P có thể là 2 hoặc 3

*Với P=2

=>P²+1994=1998 không phải là số nguyên tố

*Với P=3

=>P²+1998=2007 là số nguyên tô

Vậy P=3

Với P>3 thì P có dạng 3n+1 hoặc 3n+2

*P=3n+1

=>P2+1994=(3n+1)2+1994=9n2+6n+1995=3.(3n2+2n+665) chia hết cho 3 

=>P2+1994 không phải số nguyên tố

*P=3n+2

=>P2+1994=(3n+2)2+1994=9n2+12n+1998=3.(3n2+4n+666) chia hết cho 3 

=>P2+1994 không phải là số nguyên tố

Suy ra: P không thể lớn hơn 3 =>P có thể là 2 hoặc 3

*Với P=2

=>P2+1994=1998 không phải là số nguyên tố

*Với P=3

=>P2+1998=2007 là số nguyên tô

Vậy P=3

-Nếu p = 2 => p^2 +1 = 2^2+1=5 ( là số ntố )

                      p^4+1=2^4+1=17 (                 )

                 => p=2( t/m)

-Nếu p>2

mà p là số ntố

=>p = 2k+1

=>p^2+1=(2k+1)^2+1=(2k+1)(2k+1)+1

                               =2k(2k+1) + (2k+1) +1

                               = 4k^2 + 2k+2k+1+1

                               =4k^2 + 4k+2

                               =2(2k^2 + 2k+1)

mà 2(2k^2 +2k+1) c ia  ết c o 2

=>p=2k+1 (loại)

Vì p là số nguyên tố, Ta xét: 

+) p=2 => 2p³+5=2.2³+5=21 (loại vì 21 chia hết cho 7)

+) p=3 => p³-6=3³-6=21 (loại vì 21 chia hết cho 7)

+) p=5 => p³-6=5³-6=119 (loại vì 119 chia hết cho 7)

+) p=7 => p³-6=7³-6=337 và 2p³+5=2.7³+5=691. Vì 337 và 691 đều là số nguyên tố nên p=7 thỏa mãn đề bài. 

+) p>7. Xét p=7k+1, ..., 7k+6 (đều chia 7 dư 1³,...,6³)

Bài bạn ấy làm đúng rồi

Làm tiếp 

________________________________

Với p = 7k +  1 ta có: \(2p^3+5=2\left(7k+1\right)^3+5\equiv2.1+5\equiv0\left(mod7\right)\)=>\(2p^3+5⋮7\)loại

Với p = 7k+2 ta có:  \(2p^3+5=2\left(7k+2\right)^3+5\equiv2.2^3+5\equiv0\left(mod7\right)\)=> \(2p^3+5⋮7\)loại

Với p = 7k + 3 ta có: \(p^3-6=\left(7k+3\right)^3-6\equiv3^3-6\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại

Với p = 7k + 4 ta có: \(2p^3+5=2\left(7k+4\right)^3+5\equiv2.4^3+5\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại

Với p = 7k + 5 ta có: \(p^3-6=\left(7k+5\right)^3-6\equiv5^3-6\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại

Với p = 7k + 6 ta có: \(p^3-6=\left(7k+6\right)^3-6\equiv6^3-6\equiv0\left(mod7\right)\)=> loại 

Vậy chỉ có p = 7 thỏa mãn 

khi đó: p^2+ 10 = 59 là số nguyên tố.( đpcm)