Chứng minh rằng:
\(x^5+y^5\ge x^4y+xy^4\) với \(x,y\ne0\)và \(x+y\ge0\)
x^5+y^5 >= x^4y+xy^4
<=>x^5+y^5-x^4y-xy^4 >= 0
<=>x^4(x-y)-y^4(x-y) >= 0
<=>(x-y)(x^4-y^4) >= 0
<=>(x-y)(x^2-y^2)(x^2+y^2) >= 0
<=>(x-y)^2(x+y)(x^2+y^2) >= 0 (luôn đúng do x+y >= 0)
Vậy bđt đầu là đúng
Chứng minh : x5+y5\(\ge x^4y+xy^4\)vs x,y \(\ne0\)và \(x+y\ge0\)
tìm trc khi hỏi Câu hỏi của Nguyễn Thúy Hường - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
cho x>y chứng minh rằng \(x^5-y^5>=xy^4-x^4y\)
+ xét hiệu
x^5 + y^5 - (x^4.y + x.y^4)
= x^5 - x^4.y + y^5 - x.y^4
= x^4.(x - y) + y^4.(y - x)
= (x^4 - y^4).(x - y)
= (x + y)(x - y)^2.(x^2 + y^2) >= 0
-> ĐCPCM
Giúp mk với!!!!!!!! Help me! @_@
Chứng minh rằng : x^5 + y^5 ≥ x^4y + xy^4 với x, y ≠ 0 và x + y ≥ 0
Giải giùm mk xog thì kết bạn nha ai nhanh mk sẽ tick cho!^^
Đề thế này phải ko bạn:
Chứng minh rằng: \(x^5+y^5\ge x^4.y+x.y^4\)với \(x,y\ne0\)và\(x+y\ge0\)
bạn vào fx viết lại đề đi nha, sai đề rùi
Ta có: \(x^5+y^5\ge x^4.y+x.y^4\)(1)
<=>\(x^5+y^5-x^4.y-x.y^4\ge0\)
<=>\(\left(x^5-x^4.y\right)-\left(x.y^4-y^5\right)\ge0\)
<=>\(x^4.\left(x-y\right)-y^4.\left(x-y\right)\ge0\)
<=>\(\left(x^4-y^4\right).\left(x-y\right)\ge0\)
<=>\(\left[\left(x^2\right)^2-\left(y^2\right)^2\right].\left(x-y\right)\ge0\)
<=>\(\left(x^2+y^2\right).\left(x^2-y^2\right).\left(x-y\right)\ge0\)
<=>\(\left(x^2+y^2\right).\left(x+y\right).\left(x-y\right).\left(x-y\right)\ge0\)
<=>\(\left(x^2+y^2\right).\left(x+y\right).\left(x-y\right)^2\ge0\)
Vì \(x^2+y^2\ge0,\left(x-y\right)^2\ge0\)
=>(1)<=>\(x+y\ge0\)(2)
Vì \(x+y\ge0\)(theo giả thiết)
=>(2) đúng với mọi x,y
Vì các dấu"<=>" có giá trị như nhau
=>(1) đúng với mọi x,y
=>ĐPCM
chứng minh rằng với mọi x,y: \(x^4+y^4\ge xy\)
cho 2 số dương x,y thỏa mãn x+y=1
chứng minh rằng \(P=6\left(x^3+y^3\right)+8\left(x^4+y^4\right)+\frac{5}{xy}\ge\frac{45}{2}.\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{x^2+y^2}{2}\)
Suy ra: \(P=6\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+8\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]+\frac{5}{xy}\)
\(\ge6\left(1-\frac{3}{4}\right)+8\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\frac{5}{\frac{1}{4}}\) (Do x+y=1) \(\Rightarrow P\ge6-\frac{9}{2}+2-1+20=\frac{45}{2}\)(đpcm).
Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2.
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn xy = 4 .Chứng minh x + y \(\ge\)4 và \(\frac{1}{x+3}+\frac{1}{y+3}\)\(\le\frac{2}{5}\)
Với mọi số thực ta luôn có:
`(x-y)^2>=0`
`<=>x^2-2xy+y^2>=0`
`<=>x^2+y^2>=2xy`
`<=>(x+y)^2>=4xy`
`<=>(x+y)^2>=16`
`<=>x+y>=4(đpcm)`
\(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}=\dfrac{x+3+y+3}{\left(x+3\right)\left(y+3\right)}\)
\(=\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)(vì \(xy=4\))
=> \(\dfrac{x+y+6}{3x+3y+13}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
<=> \(5\left(x+y+6\right)\)≤\(2\left(3x+3y+13\right)\)
<=>\(6x+6y+26-5x-5y-30\)≥\(0\)
<=> \(x+y-4\)≥\(0\)
Áp dụng BĐT AM-GM \(\dfrac{a+b}{2}\)≥\(\sqrt{ab}\)
Ta có \(\dfrac{x+y}{2}\)≥\(\sqrt{xy}\)
<=>\(x+y\) ≥ 2\(\sqrt{xy}\)
=>2\(\sqrt{xy}-4\)≥\(0\)
<=> \(4-4\)≥0
<=>0≥0 ( Luôn đúng )
Vậy \(\dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{y+3}\)≤\(\dfrac{2}{5}\)
Chứng minh rằng x²+y²-4x-2y+5≥0 với mọi giá trị của xy
\(=\left(x^2-4x+4\right)+\left(y^2-2y+1\right)\)
\(=\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\forall x;y\)
4. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. A = 5 – 8x – x2 b. B = 5 – x2 + 2x – 4y2 – 4y 5. a. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca chứng minh rằng a = b = c b. Tìm a, b, c biết a2 – 2a + b2 + 4b + 4c2 – 4c + 6 = 0 6. Chứng minh rằng: a. x2 + xy + y2 + 1 > 0 với mọi x, y b. x2 + 4y2 + z2 – 2x – 6z + 8y + 15 > 0 Với mọi x, y, z 7. Chứng minh rằng: x2 + 5y2 + 2x – 4xy – 10y + 14 > 0 với mọi x, y.
