\(y=\left(x+2\right)\left(3-x\right)\)

\(=3x-x^2+6-2x\)

\(=-x^2+x+6\)

=>y'=-2x+1

Đặt y'=0

=>-2x+1=0

=>-2x=-1

=>\(x=\dfrac{1}{2}\)

\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}+2\right)\left(3-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5}{2}\cdot\dfrac{5}{2}=\dfrac{25}{4}\)

\(f\left(-2\right)=\left(-2+2\right)\left(3+2\right)=0\)

\(f\left(3\right)=\left(3+2\right)\left(3-3\right)=0\)

=>\(y_{max\left[-2;3\right]}=\dfrac{25}{4}\)

1.

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)

Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:

\(t^2-3m.t+m=0\) (1) 

Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:

TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)

\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)

TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)

\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)

\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)

2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)

Ko tồn tại m thỏa mãn

Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?

a: |x|+|y|<=3

=>(|x|,|y|) thuộc {(0;0); (0;1); (0;2); (0;3); (1;0); (2;0); (3;0); (1;1); (1;2); (2;1)}

=>(x,y) thuộc {(0;0); (0;1); (0;-1); (1;0); (-1;0); (0;2); (2;0); (0;-2); (-2;0); (0;3); (0;-3); (3;0); (-3;0); (1;1); (-1;-1); (-1;1); (1;-1); (1;2); (-1;2); (2;1); (2;-1); (1;-2); (-2;1)}

b: =>(|x+5|,|y-2|) thuộc {(0;4); (4;0); (0;3); (3;0); (0;2); (2;0); (0;1); (1;0); (0;0); (1;1); (1;2); (2;1); (1;3); (3;1); (2;2)}

=>(x+5;y-2) thuộc {(0;4); (0;-4); (4;0); (-4;0); (0;3); (0;-3); (3;0); (-3;0); (0;2); (0;-2); (2;0); (-2;0); (1;0); (-1;0); (0;1); (0;-1); (0;0); (1;1); (1;-1); (-1;1); (-1;-1); (1;2); (2;1); (-1;-2); (-2;-1); (1;-2); (-2;1); (-1;2); (2;-1); (1;3); (-1;-3); (1;-3); (-1;3); (3;1); (-3;-1); (-3;1); (3;-1); (2;2); (-2;-2); (2;-2); (-2;2)}

Đến đây thì dễ rồi, bạn làm như tìm x,y bình thường thôi

Bài 3: \(A=\frac{\left(2a+b+c\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+b+2c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

Đặt a+b=x;b+c=y;c+a=z

\(A=\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\ge\frac{2\sqrt{xy}.2\sqrt{yz}.2\sqrt{zx}}{xyz}=\frac{8xyz}{xyz}=8\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Bài 4: \(A=\frac{9x}{2-x}+\frac{2}{x}=\frac{9x-18}{2-x}+\frac{18}{2-x}+\frac{2}{x}\ge-9+\frac{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^2}{2-x+x}=-9+\frac{32}{2}=7\)

Dấu = xảy ra khi\(\frac{\sqrt{18}}{2-x}=\frac{\sqrt{2}}{x}\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)

a) (x≤3)





 

a: Ta có: \(\sqrt{x-1}=2\)

\(\Leftrightarrow x-1=4\)

hay x=5

b: Ta có: \(\sqrt{3-x}=4\)

\(\Leftrightarrow3-x=16\)

hay x=-13

c: Ta có: \(2\cdot\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3-2x}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow-2x+3=\dfrac{1}{16}\)

\(\Leftrightarrow-2x=-\dfrac{47}{16}\)

hay \(x=\dfrac{47}{32}\)

d: Ta có: \(4-\sqrt{x-1}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=\dfrac{7}{2}\)

\(\Leftrightarrow x-1=\dfrac{49}{4}\)

hay \(x=\dfrac{53}{4}\)

e: Ta có: \(\sqrt{x-1}-3=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=4\)

\(\Leftrightarrow x-1=16\)

hay x=17

f:Ta có: \(\dfrac{1}{2}-2\cdot\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\cdot\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow x+2=\dfrac{1}{64}\)

hay \(x=-\dfrac{127}{64}\)

Sai  bất đẳng thức giữa của  (1) rồi\(x+1>0\Leftrightarrow x>-1.\)

Suy ra phải sửa luôn mấy phần bên dưới. Và kết luận : \(-1< x\le3\)

\(a,\dfrac{x^2+x+2}{\sqrt{x^2+x+1}}=\dfrac{x^2+x+1+1}{\sqrt{x^2+x+1}}=\sqrt{x^2+x+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}\left(1\right)\)

Áp dụng BĐT cosi: \(\left(1\right)\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+x+1}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{x^2+x+1}}}=2\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x^2+x+1=1\Leftrightarrow x^2+x=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)