=> |a| - |b| \(\le\)  |a + b|

- Nếu b = 0 thì |a| - |b| = |a| = |a + b|

Bây giờ chỉ còn lại 2 trường hợp với b khác 0

- Nếu a và b cùng dấu, dễ thấy: |a| - |b| < |a| < |a + b| => |a| - |b| < |a + b|

- Nếu a và b trái dấu

+ Nếu a > 0 > b, lại có: |a| > |b|        (1)

=> |a| - |b| = a - (-b) = a + b

Từ (1) => bểu thức a + b mang dấu dương, do đó |a + b| = a + b = |a| - |b|

+ Nếu b > 0 > a, lại có: |a| > |b|         (2)

=> |a| - |b| = -a - b = -(a + b)

Từ (2) => biểu thức a + b mang dấu âm, do đó |a + b| = -(a + b) = |a| - |b|

Như vậy, |a| - |b|\(\le\) |a + b|

Dấu "=" xảy ra khi b = 0 hoặc a và b cùng bằng 0 hoặc a và b trái dấu ( với b khác 0)

|a+b|=|2a|, nếu a trái dấu b thì sao

Có \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

Khai căn 2 vế

\(\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\ge\sqrt{\left(a+b\right)^2}=\left|a+b\right|\)

Uầy cái này là bổ đề huyền thoại của lớp 9 rồi :333333333

BĐT cần CM <=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)

<=> \(9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+8abc\)

<=> \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Mà theo CAUCHY 2 số thì \(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân lại => \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

=> Ta có điều phải chứng minh.

Áp dụng BĐT AM-GM với 3 số a, b, c ta luôn có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\), dấu bằng xảy ra khi a = b.

\(b+c\ge2\sqrt{bc}\), dấu bằng xảy ra khi b = c.

\(a+c\ge2\sqrt{ac}\) , dấu bằng xảy ra khi a = c.

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{bc}.2\sqrt{ab}.2\sqrt{ac}=8abc\)

lại có \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)+abc=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\left(\frac{1}{8}+1\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\le\frac{9}{8}\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu ''='' xảy ra khi a=b=c

BĐT đã cho có thể viết lại dưới dạng :

\(a\left(b-c\right)^2+b.\left(c-a\right)^2+c.\left(a-b\right)^2\ge0\) ( Luôn đúng )

Vậy BĐT được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)

Tham khảo 

- Nếu a ≤ 0 ; b ≤ 0 hoặc a ≥ 0;b ≥ 0 thì |a + b| = |a| + |b|

- Nếu a,b khác dấu và |a| > |b| thì |a+b| = |a| - |b| < |a| < |a| + |b|

- Nếu a,b khác dấu và |b| > |a| thì |a+b| = |b| - |a| < |b| < |a| + |b|

Vậy trong mỗi trường hợp của a và b ta luôn có |a+b| ≤ |a| + |b| 

Chúc học tốt !