a) Ta có: \(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n\)

\(=3^n\cdot9+3^n-2^n\cdot16+2^n\)

\(=3^n\cdot10+2^n\cdot15⋮30\)

Ta có : 3^{n + 2} - 2^{n + 4} + 3ⁿ + 2ⁿ

= 3ⁿ(3² + 1) - 2ⁿ(2⁴ - 1)

= 3ⁿ.10 - 2ⁿ.15

= 3^{n - 1}.3.10 - 2^{n - 1}.2.15

= 3^{n - 1}.30 - 2^{n - 1}.30

= 30(3^{n - 1} - 2^{n - 1}) \(⋮\)30 (đpcm)

Câu a có rồi

b) Bg

Gọi số của đề bài là a   (a \(\inℕ^∗\))

Theo đề bài: a = 7x + 3, a = 17y + 12, a = 23z + 7  (x, y, z \(\inℕ\))

=> a + 39 = 7x + 3 + 39 = 7x + 42 = 7x + 7.6 = 7.(x + 6) \(⋮\)7

=> a + 39 = 17y + 12 + 39 = 17y + 51 = 17y + 17.3 = 17.(y + 3) \(⋮\)17

=> a + 39 = 23z + 7 + 39 = 23z + 46 = 23z + 23.2 = 23.(z + 2) \(⋮\)23

=> a + 39 \(⋮\)7; 17; 23

Ta có: 2737 = 7.17.23 (phân tích thừa số nguyên tố)

=> a + 39 \(⋮\)2737

=> a = 2737p - 39

=> a = 2737p - 2737 + 2698

=> a = 2737.(p - 1) + 2698

Vì 2698 < 2737

=> a chia 2737 dư 2698

Vậy số đó chia 2737 dư 2698

a) \(3^{n+2}-2^{n+4}+3^n+2^n=\left(3^{n+2}+3^n\right)-\left(2^{n+4}-2^n\right)\)

\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^4-1\right)=3^n\left(9+1\right)-2^n.\left(16-1\right)\)

\(=3^n.10-2^n.15=3.10.\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)=30.\left(3^{n-1}-2^{n-1}\right)⋮30\)

Thử ha! Lâu không làm quên mất cách làm rồi má ơi:((

Giả sử \(n^k⋮n-1\left(1\right)\Rightarrow n⋮n-1\) Vì:

Nếu n không chia hết cho n - 1 thì khi phân tích ra thừa số nguyên tố, n không chứa n - 1 nên n^k cũng không chưa thừa số nguyên tố n - 1 suy ra n^k không chia hết cho n - 1. Mâu thuẫn với điều giả sử (1)

Vậy \(n⋮n-1\Leftrightarrow\left(n-1\right)+1⋮\left(n-1\right)\Rightarrow1⋮\left(n-1\right)\)

Suy ra \(n-1\inƯ\left(1\right)=1\left(\text{không xét }-1\text{ vì n\ge3 nên }n-1\text{dương. Do vậy ta chỉ xét ước dương}\right)\Rightarrow n=2\)

Mà n = 2 không thỏa mãn đk nên không tồn tại n > 3 thỏa mãn n chia hết cho n - 1 tức là không tồn tại n^k chia hết cho n - 1 (mẫu thuẩn với điều giả sử)

Do vậy ta có đpcm.

P/s: Sai thì thôi nhá, quên mất cách làm mọe rồi

n^k-1=(n-1)(n^k-1-n^k-2....+1) chia hết cho n-1

a, Khai trển phương trình : 

(5n+2)^2 - 4 = (25n^2 + 2*2*5n + 2^2) - 4 = 25n^2 + 20n + 4 - 4 
= 25n^2 + 20n = 5n(5n + 4) 

--> (52+2)^2 - 4 = 5n(5n + 4) hiển nhiên chia hết cho 5. 

lưu ý : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

\(5^{n+2}+3^{n+2}-3^n-5^n=5^n\left(5^2-1\right)+3^n\left(3^2-1\right)=5^n.24+3^n.8\)

Ta có \(5^n.24⋮24\) và \(3^n.8⋮3.8=24\)

Vậy ta đc đpcm

5n+2+3n+2−3n−5n=5n(52−1)+3n(32−1)=5n.24+3n.85n+2+3n+2−3n−5n=5n(52−1)+3n(32−1)=5n.24+3n.8

Ta có 5n.24⋮245n.24⋮24 và 3n.8⋮3.8=24 vây ta CM đc cái trên