Hãy tìm \(k\) nguyên lớn nhất có thể, biết với mọi số nguyên dương \(n\), số \(n^{23}-n\) luôn chia hết cho \(k\).
Gợi ý: Định lí Fermat nhỏ cho ta \(n^{23}-n\) chia hết cho \(23\) với mọi \(n\) nhé.
Gợi ý 2: Để \(n^{23}-n\) chia hết cho \(k\) với mọi \(n\) thì tối thiểu phải có \(2^{23}-2\) chia hết cho \(k\) đã.
có lẽ không đơn giản => k rất lớn
giải
\(A=n\left(n^{22}-1\right)=n\left(n^{11}-1\right)\left(n^{11}+1\right)\)
(*)Hiển nhiên A chia hết cho 2
(**) n^11 không có dang 3k+2=> A chia hết cho 3
Vậy k <=6.23
Khó vậy!
Mình mới lớp 7 Mình không biết định lý Fermat
Xin lỗi nha
Đáp án đúng \(k=2.3.23\).
Như đã nói ở gợi ý 2 là cần \(2^{23}-2\) chia hết cho \(k\). Phân tích \(2^{23}-2\) ra thừa số nguyên tố được:
\(2^{23}-2=2.3.23.89.683\)
Vậy ta chỉ cần chọn trong các số nguyên tố cùng nhau này số nào là ước của \(n^{23}-n\) với mọi \(n\).
\(k\) sẽ là tích của chúng.
-----
Dễ dàng CM được \(n^{23}-n⋮2\).
Xét trường hợp \(n\) không chia hết cho \(3\).
Theo định lí Fermat nhỏ: \(n^2=1\)(mod \(3\)) suy ra \(n^{22}=1\) (mod \(3\)).
Vậy \(n^{23}=n\) (mod \(3\)) nghĩa là \(n^{23}-n⋮3\).
Xét trường hợp \(n⋮3\) hiển nhiên \(n^{23}-n⋮3\). Vậy \(n^{23}-n⋮3\) với mọi \(n\).
Theo định lí Fermat nhỏ (gợi ý 1) suy ra \(n^{23}=n\) (mod \(23\)) nên \(n^{23}-n⋮23\).
------
Ta sẽ chỉ ra tồn tại số \(n\) mà \(n^{23}-n\) không chia hết cho \(89\) và \(683\).
Ta có \(3^{11}=37\) (mod \(89\)). Vậy \(3^{23}=\left(3^{11}\right)^2.3=37^2.3=13\) (mod \(89\))
Suy ra \(3^{23}-3\) không chia hết cho \(89\).
Ta có \(3^{11}=250\) (mod \(683\)). Vậy \(3^{23}=\left(3^{11}\right)^2.3=250^2.3=358\) (mod \(683\))
Suy ra \(3^{23}-3\) không chia hết cho \(683\).
-----
Tổng hợp lại, \(k=2.3.23\) là lớn nhất có thể.
