Cho hình vẽ
Biết \(A_2=x+50^0\)
\(B_1=3x-20^0\)
Tính số đo của \(A_2\)
Cho hai đường thẳng
\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) (\({a_1}^2 + {b_1}^2 > 0\)) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) \(\left( {{a_2}^2 + {b_2}^2 > 0} \right)\)
có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \).
Tìm tọa độ \(\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} \)và tính \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\)
+) Từ phương trình \({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) là \(\left( {{a_1};{b_1}} \right)\)
+) Từ phương trình \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) ta xác định được tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {{n_2}} \) là \(\left( {{a_2};{b_2}} \right)\)
+) \(\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \frac{{\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} }}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\)
Cho elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)
a) Tìm các giao điểm \({A_1},{A_2}\) của (E) với trục hoành và các giao điểm \({B_1},{B_2}\) của (E) với trục tung. Tính \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\).
b) Xét một điểm bất kì \(M\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) thuộc (E).
Chứng minh rằng, \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\) và \(b \le OM \le a\).
Chú ý: \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2}\)tương ứng được gọi là trục lớn, trục nhỏ của elip (E) và tương ứng có độ dài là 2a, 2b.
a) Các giao điểm của (E) với trục hoành có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \pm a\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{A_1}\left( { - a;0} \right)\\{A_2}\left( {a;0} \right)\end{array} \right.\)
Các giao điểm của (E) với trục tung có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\\x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm b\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{B_1}\left( {0; - b} \right)\\{B_2}\left( {0;b} \right)\end{array} \right.\)
Ta có \({A_1}{A_2} = 2a,{B_1}{B_2} = 2b\).
b) Do M thuộc (E) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} = 1\)
Do \(a > b > 0\) nên ta có \(\frac{{x_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}}\). Suy ra \(1 \le \frac{{x_o^2}}{{{b^2}}} + \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {b^2} \le x_o^2 + y_o^2\)
Tương tự ta có \(\frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}}\) nên \(1 \ge \frac{{y_o^2}}{{{a^2}}} \le \frac{{y_o^2}}{{{b^2}}} \Rightarrow {a^2} \ge x_o^2 + y_o^2\)
Vậy \({b^2} \le x_o^2 + y_o^2 \le {a^2}\)
Ta có \(OM = \sqrt {x_o^2 + y_o^2} \) suy ra \(b \le OM \le a\)
Cho Hình 16, biết a // b.
a) Chỉ ra góc ở vị trí so le trong, đồng vị với góc \(\widehat {{B_2}}\)
b) Tính số đo các góc \(\widehat {{A_4}},\widehat {{A_2}},\widehat {{B_3}}\)
c) Tính số đo các góc \(\widehat {{B_1}},\widehat {{A_1}}\).
a) Góc ở vị trí so le trong với góc \(\widehat {{B_2}}\) là: \(\widehat {{A_4}}\)
Góc ở vị trí đồng vị với góc \(\widehat {{B_2}}\) là: \(\widehat {{A_2}}\)
b) Vì a // b nên:
+) \(\widehat {{A_4}} = \widehat {{B_2}}\)( 2 góc so le trong), mà \(\widehat {{B_2}} = 40^\circ \) nên \(\widehat {{A_4}} = 40^\circ \)
+) \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_2}}\) ( 2 góc đồng vị), mà \(\widehat {{B_2}} = 40^\circ \) nên \(\widehat {{A_2}} = 40^\circ \)
Ta có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \) ( 2 góc kề bù) nên \(40^\circ + \widehat {{B_3}} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {{B_3}} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
c) Ta có: \(\widehat {{B_2}} + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \) ( 2 góc kề bù) nên \(40^\circ + \widehat {{B_1}} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \)
Vì a // b nên \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) (2 góc đồng vị) nên \(\widehat {{A_1}} = 140^\circ \)
Giả sử phương trình \(x^2+px+1=0\)có nghiệm là \(a_1;a_2\), phương trình \(x^2+qx+1=0\) có nghiệm \(b_1,b_2\)Chứng minh \(\left(a_1-b_1\right)\left(a_2-b_1\right)\left(a_1+b_2\right)\left(a_2+b_2\right)=q^2-p^2\)
Theo vi ét:
\(\hept{\begin{cases}a_1a_2=1\\a_1+a_2=-p\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}b_1b_2=1\\b_1+b_2=-q\end{cases}}\)
Ta có: \(\left(a_1-b_1\right)\left(a_2-b_1\right)\left(a_1+b_2\right)\left(a_2+b_2\right)\)
\(=\left(a_1a_2+b_1^2-a_1b_1-a_2b_1\right)\left(a_1a_2+a_2b_2+b_2^2+a_1b_2\right)\)
\(=\left(1+b_1^2+pb_1\right)\left(1+b_2^2-pb_2\right)\)
\(=1+b_2^2-pb_2+b_1^2+b_1^2b_2^2-pb_1^2b_2+pb_1+pb_1b_2^2-p^2b_1b_2\)
= \(1+b_1^2+b_2^2-pb_2-pb_1+1+pb_1+pb_2-p^2\)
\(=2+\left(b_1+b_2\right)^2-2b_1b_2-p^2\)
\(=q^2-p^2\)
Chứng minh rằng: \(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\frac{a_3}{b_3}+...+\frac{a_n}{b_n}\ge n\left(\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{b_1+b_2+b_3+...+b_n}\right)\)
Với \(a_1,a_2...,a_n;b_1,b_2...,b_n>0\)
Cho 2008 số thỏa mãn \(a_1+a_2+....+a_{2008}\) khác 0 và \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=.....=\frac{a_{2007}}{a_{2008}}=\frac{a_{2008}}{a_1}\)Hãy tính giá trị biêu N =\(\frac{a_1^2+a_2^2+....a_{2008}^2}{\left(a_1+a_2....+a_{2008}\right)^2}\)
Cho P = \(\frac{ax^2+bx+c}{a_1x^2+b_1x^2+c_1}\)CMR \(\frac{a}{a_1}=\frac{b}{b_1}=\frac{c}{c_1}\) thì giá trị của P ko phụ thuộc vào giá trị của x
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{2007}}{a_{2008}}=\frac{a_{2008}}{a_1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{2007}+a_{2008}}{a_2+a_3+...+a_{2008}+a_1}=1\)
Do đó : \(a_1=a_2=...=a_{2007}=a_{2008}\)
\(\Rightarrow\)\(N=\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_{2008}^2}{\left(a_1+a_2+...+a_{2008}\right)^2}=\frac{a_1^2+a_1^2+...+a_1^2}{\left(a_1+a_1+...+a_1\right)^2}=\frac{2018a_1^2}{2018^2a_1^2}=\frac{1}{2018}\)
Vậy \(N=\frac{1}{2018}\)
Chúc bạn học tốt ~
Xin lỗi mí bạn mình chọn nhầm đây là toán 8 nhé!
1. Cho \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\)chứng minh rằng \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\)
2. Giả sử \(a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2\)là các số khác 0 thỏa mãn đk : \(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\)và\(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\)
CMR : \(\dfrac{a_2^2}{a^2_1}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}=1\)
Mình còn không hiểu đề bài cho lắm vậy nên mong mọi người giúp mình
Thanks
1. Ta có \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}=1\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\left(b+c\right)\left(\dfrac{a}{b+c}\right)+\dfrac{b^2}{c+a}+\left(c+a\right)\left(\dfrac{b}{c+a}\right)+\dfrac{c^2}{a+b}+\left(a+b\right)\left(\dfrac{c}{a+b}\right)=a+b+c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}+a+b+c=a+b+c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}=0\) (đpcm).
2. Ta có: \(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a_1b_2c_2+b_1a_2c_2+c_1a_2b_2}{a_2b_2c_2}=0\)
\(\Rightarrow a_1b_2c_2+b_1a_2c_2+c_1a_2b_2=0\)
Lại có: \(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a_2^2}{a_1^2}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+2\left(\dfrac{a_2b_2}{a_1b_1}+\dfrac{b_2c_2}{b_1c_1}+\dfrac{a_2c_2}{a_1c_1}\right)=1\)
Mặt khác: \(\dfrac{a_2b_2}{a_1b_1}+\dfrac{b_2c_2}{b_1c_1}+\dfrac{a_2c_2}{a_1c_1}=\dfrac{a_1b_2c_2+b_1a_2c_2+c_1a_2b_2}{a_1b_1c_1}=0\)
Vậy \(\dfrac{a_2^2}{a_1^2}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}=1\) (đpcm)
Cho \(a_1\le a_2\le a_3\) và \(b_1\le b_2\le b_3\) ,cmr:
a)\(\dfrac{a_1+a_2}{2}.\dfrac{b_1+b_2}{2}\le\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{2}\)
b)\(\dfrac{a_1+a_2+a_3}{3}.\dfrac{b_1+b_2+b_3}{3}\le\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{3}\)
áp dụng:\(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\left(x^7+y^7\right)\le4\left(x^{11}+y^{11}\right)\)
\(\forall x,y>0\)
giả sử a1, b1, c1, a2, b2, c2 là các số khác 0 thỏa mãn các đk:
\(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\) và \(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\)
CMR: \(\dfrac{a^2_2}{a_1^2}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}=1\)
Ta có:
\(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}=1\Rightarrow\left(\dfrac{a_2}{a_1}+\dfrac{b_2}{b_1}+\dfrac{c_2}{c_1}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2_2}{a^2_1}+\dfrac{b_2^2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c_1^2}+2\left(\dfrac{a_2b_2}{a_1b_1}+\dfrac{b_2c_2}{b_1c_1}+\dfrac{c_2a_2}{a_1c_1}\right)=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{a_2^2}{a^2_1}+\dfrac{b^2_2}{b^2_1}+\dfrac{c^2_2}{c^2_1}+2\left(\dfrac{a_2b_2c_1+b_2c_2a_1+c_2a_2b_1}{a_1b_1c_1}\right)=1\)(1)
Theo giả thiết:
\(\dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{b_1}{b_2}+\dfrac{c_1}{c_2}=0\Leftrightarrow\dfrac{a_1b_2c_2+b_1a_2c_2+c_1a_2b_2}{a_2b_2c_2}=0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
Đặt \(\dfrac{a_1}{a_2}=p;\dfrac{b_1}{b_2}=q;\dfrac{c_1}{c_2}=r\), có:
\(p+q+r=0\) (1)
\(\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}+\dfrac{1}{r}=1\) (2)
Từ (2) => \(\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{1}{r^2}+2\dfrac{p+q+r}{pqr}=1\)
Kết hợp với (1), ta được: \(\dfrac{1}{p^2}+\dfrac{1}{q^2}+\dfrac{1}{r^2}=1\Rightarrow\dfrac{a^2_2}{a^2_1}+\dfrac{b^2_2}{b_1^2}+\dfrac{c_2^2}{c^2_1}=1\left(đpcm\right)\)