cho 2x2 + 5y2 + 9z2 =2(xy+3yz+3xz)
tính M = \(\frac{x^3+y^3+z^3}{x^2y+y^2z+x^2x}\)
Những câu hỏi liên quan
Cho 3 số thực không âm x, y,z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm min của
\(A=\sqrt{2x^2+3xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+3yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+3xz+2x^2}\)
p. tích thành tổng 2 bình phương rồi mincopxki
Đúng 0
Bình luận (0)
Dễ chứng minh được \(2x^2+3xy+2y^2\ge\frac{7}{4}\left(x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Một cách tương tự :
\(2y^2+3yz+2z^2\ge\frac{7}{4}\left(y+z\right)^2\)
\(2z^2+3xz+2x^2\ge\frac{7}{4}\left(z+x\right)^2\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{2x^2+3xy+2y^2}+\sqrt{2y^2+3yz+2z^2}+\sqrt{2z^2+3xz+2x^2}\)
\(\ge\sqrt{\frac{7}{4}\left(x+y\right)^2}+\sqrt{\frac{7}{4}\left(y+z\right)^2}+\sqrt{\frac{7}{4}\left(z+x\right)^2}\)
\(=\frac{\sqrt{7}}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=\frac{\sqrt{7}}{2}.6=3\sqrt{7}\)
đặt Afrac{sqrt{yz}}{x+3sqrt{yz}}+frac{sqrt{zx}}{y+3sqrt{zx}}+frac{sqrt{xy}}{z+3sqrt{xy}}Rightarrow1-3Afrac{x}{x+3sqrt{yz}}+frac{y}{y+3sqrt{zx}}+frac{z}{z+3sqrt{xy}}gefrac{x}{x+frac{3}{2}left(y+zright)}+frac{y}{y+frac{3}{2}left(z+xright)}+frac{z}{z+frac{3}{2}left(x+yright)}frac{2x}{2x+3left(y+zright)}+frac{2y}{2y+3left(z+xright)}+frac{2z}{2z+3left(x+yright)}frac{2x^2}{2x^2+3xy+3xz}+frac{2y^2}{2y^2+3yz+3xy}+frac{2z^2}{2z^2+3zx+3yz}gefrac{2left(x+y+zright)^2}{2left(x^2+y^2+z^2right)+6left(xy+yz+zxr...
Đọc tiếp
đặt \(A=\frac{\sqrt{yz}}{x+3\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+3\sqrt{zx}}+\frac{\sqrt{xy}}{z+3\sqrt{xy}}\)
\(\Rightarrow1-3A=\frac{x}{x+3\sqrt{yz}}+\frac{y}{y+3\sqrt{zx}}+\frac{z}{z+3\sqrt{xy}}\)
\(\ge\frac{x}{x+\frac{3}{2}\left(y+z\right)}+\frac{y}{y+\frac{3}{2}\left(z+x\right)}+\frac{z}{z+\frac{3}{2}\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{2x}{2x+3\left(y+z\right)}+\frac{2y}{2y+3\left(z+x\right)}+\frac{2z}{2z+3\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{2x^2}{2x^2+3xy+3xz}+\frac{2y^2}{2y^2+3yz+3xy}+\frac{2z^2}{2z^2+3zx+3yz}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+6\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2+2\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)^2+\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{\frac{8}{3}\left(x+y+z\right)^2}=\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow1-3A\ge\frac{3}{4}\Rightarrow A\le\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)
cho x y z > 0,x+2y+3z=2. Tìm GTLN
S=\(\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)
Lời giải:
Đặt $(x,2y,3z)=(a,b,c)$. Khi đó bài toán trở thành:
Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=2$. Tìm GTLN của:
\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ca}{ac+2b}}\)
------------------------------------
Từ $a+b+c=2$ ta có:
\(S=\sqrt{\frac{ab}{ab+(a+b+c)c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+(a+b+c)a}}+\sqrt{\frac{ca}{ac+(a+b+c)b}}\)
\(=\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}+\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}+\sqrt{\frac{ca}{(b+c)(b+a)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy:
\(\sqrt{\frac{ab}{(c+a)(c+b)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{c+a}+\frac{b}{c+b}\right)\)
\(\sqrt{\frac{bc}{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\frac{ca}{(b+a)(b+c)}}\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{b+a}+\frac{c}{b+c}\right)\)
Cộng theo vế:
\(S\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a+c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a+b}{a+b}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy $S_{\max}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
hay $x=\frac{2}{3}; y=\frac{1}{3}; z=\frac{2}{9}$
Đúng 1
Bình luận (3)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+2y+3z=2
Tìm gía trị nhỏ nhất của S=\(\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)
Giups em hiểu vs ạ
Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: \(x+2y+3z=2\). Tìm GTLN của biểu thức: \(S=\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}+}\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}+}\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)
a) \(\left\{{}\begin{matrix}a=x\\b=2y\\c=3z\end{matrix}\right.\Rightarrow a+b+c=2;a,b,c>0\)
\(\Rightarrow S=\sqrt{\dfrac{\dfrac{ab}{2}}{\dfrac{ab}{2}+c}}+\sqrt{\dfrac{\dfrac{bc}{2}}{\dfrac{bc}{2}+a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
Vì a,b,c>0 nên áp dụng BĐT AM-GM, ta có:
\(\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}=\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+bc+ca+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{a}{a+c}}.\sqrt{\dfrac{b}{b+c}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}\right)\)
\(\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(b+a\right)\left(c+a\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}\right)\)
\(\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}=\sqrt{\dfrac{ca}{\left(c+b\right)\left(a+b\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{b+c}+\dfrac{a}{a+b}\right)\)
\(\Rightarrow S\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{a+b}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{b+c}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: a=b=c=2/3=>\(\left(x,y,z\right)=\left\{\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{2}{9}\right\}\)
Đúng 2
Bình luận (0)
Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z=2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S = \(\sqrt{\dfrac{xy}{xy+3z}}\)+\(\sqrt{\dfrac{3yz}{3yz+x}}\)+\(\sqrt{\dfrac{3xz}{3xz+4y}}\)
Đặt \(\left(x;2y;3z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=2\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+2b}}\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{ab+c\left(a+b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{bc+a\left(a+b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{ca+b\left(a+b+c\right)}}\)
\(S=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(S\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{2}{3}\Rightarrow x;y;z\)
Đúng 1
Bình luận (0)
Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn: \(x+2y+3z=2\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(S=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c>0\right)\Rightarrow a+b+c=2\)
Khi đó \(S=\Sigma\sqrt{\frac{\frac{ab}{2}}{\frac{ab}{2}+c}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}\)
\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{ab+bc+ca+c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cô-si có
\(S\le\frac{\Sigma\left(\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}\right)}{2}=\frac{3}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Anh ơi năm nay e lên lớp 9 và cũng bắt đầu làm quen với dạng bất đẳng thức , a cho em hỏi mấy cái chữ M nằm ngang là gì thế ạ ? mong anh giải đáp giúp e
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
Cho x;y;z>0 và \(13x+5y+12z=9\)
Tìm Max \(M=\frac{xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{6zx}{2z+x}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a}{b+c+d}\le\frac{1}{9}\left(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{a}{d}\right)\) ta có :
\(\frac{xy}{2x+y}\le\frac{1}{9}\left(\frac{xy}{x}+\frac{xy}{x}+\frac{xy}{y}\right)=\frac{1}{9}\left(2y+x\right)\)
\(\frac{3yz}{2y+z}\le3.\frac{1}{9}\left(\frac{yz}{y}+\frac{yz}{y}+\frac{yz}{z}\right)=\frac{1}{3}\left(2z+y\right)\)
\(\frac{6xz}{2z+x}\le6.\frac{1}{9}\left(\frac{xz}{z}+\frac{xz}{z}+\frac{xz}{x}\right)=\frac{2}{3}\left(2x+z\right)\)
\(\Rightarrow M\le\frac{1}{9}\left(2y+z\right)+\frac{1}{3}\left(2z+y\right)+\frac{2}{3}\left(2x+z\right)=\frac{13}{9}x+\frac{5}{9}y+\frac{12}{9}z\)
\(=\frac{1}{9}\left(13x+5y+12z\right)=\frac{1}{9}.9=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{3}{10}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Tính : \(\frac{x\left(y^2-z\right)+y\left(x-xy\right)}{\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2}:\frac{\left(xy^2-xz\right)\left(2y-x\right)}{2\left(x^3+y^3+z^3-3xz\right)}\)
\(\frac{2x^2-4x+2y^2}{5x-5y}.\frac{16x^2-15y^2}{4x^3+4y^3}\)